Boletin_tema4

4. Autovalores y autovectores
4.1

Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.1 Realizar la descomposici´on de Schur de la matriz


1
0
1


A= 0
1
1 
−1
0 −1
´ n: El polinomio caracter´ıstico de la matriz A es
Solucio
p(λ) = det(λI − A) =

λ−1
0
−1
0
λ − 1 −1
1
0
λ+1

= λ3 − λ2 = λ2 (λ − 1)

por lo que los autovalores de A son 1 simple y 0 doble.
Para λ = 1 el autovector asociado viene dado por la


0
0
1
0



(A − I)v = 0 ⇐⇒  0
0
1 v =  0
−1
0 −2
0

soluci´on del sistema

 
0

 
 =⇒ v =  1 
0

Para ampliar hasta una base ortonormal de R3 podemosutilizar
0 1

de la base can´onica para obtener la matriz de paso P =  1 0
0 0
que


1
0
1


P −1 AP = P T AP =  0
1
1 
0 −1 −1
53

losvectores
0

0 , por lo
1

´
Algebra
Num´erica

54

1
1
tiene como autovalores el 0doble y un autovec−1 −1
tor asociado a ´el es el vector (1 − 1)T que puede ser ampliado hasta una
base ortogonal de R2 con el vector (1 1)T por lo que una base ortonor2
mal de
por ambos vectores normalizados y, por tanto

 R es le constituida
1
0
0


√1
√1  obteni´
Q= 0
endose que
2
2
1
1
√
0 − √2
2

La submatriz



√

1 − 22

QT P T AP Q = U T AU =  0
0
0
0

√

2
2




2 
0

que esuna forma de Schur de la matriz A con


0

√1
2


U = PQ =  1
0
1
0 − √2

√1
2




0 

√1
2

0.6 0.8
es unitaria (or−0.8 0.6
togonal) y obtener, bas´andose en ella, una matriz normal A que tenga por
autovalores 2 y 3i. Calcular la conmutatriz de A y comprobar que sus componentes herm´ıticas conmutan.
Ejercicio 4.2 Comprobar que la matriz U =

´ n:
Solucio
U ∗U = U T U =

0.6 −0.8
0.8
0.60.6 0.8
−0.8 0.6

=

1 0
0 1

=I

Por tanto, la matriz es unitaria.
Si A debe ser normal y ha de tener los autovalores 2 y 3i, tiene que ser
diagonalizable unitariamente y, la matriz diagonal tendr´a a los autovalores
en su diagonal.
U ∗ AU = D =

2 0
0 3i

=⇒ A = U DU ∗

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS

55

Podemos utilizar cualquier matriz unitaria, por ejemplo, la del enunciado del
ejercicio.
A =

=0.6 −0.8
0.8
0.6

2 0
0 3i

0.6 0.8
−0.8 0.6

0.72 + 1.92i −0.96 + 1.44i
−0.96 + 1.44i
1.28 + 1.08i

.

Hallemos, por u
´ltimo, la conmutatriz de la matriz A.
C(A) = AA∗ − A∗ A = 2i(H2 H1 − H1 H2 )
1
H1 = (A + A∗ ) =
2
0 0
0 0

H1 H2 =

0.72 −0.96
−0.96
1.28
=Θ

H2 =

H2 H1 =

1
(A − A∗ ) =
2i

0 0
0 0

1.92 1.44
1.44 1.08

= Θ =⇒ H1 H2 = H2 H1

Por tanto, C(A) = Θ.
Ejercicio 4.3 Probar,bas´andose en el teorema de Gerschgorin, que la matriz:



A=


9
0
−1
1

1 −2
8
1
0
7
0
0

1
1
0
1







tiene, al menos, dos autovalores reales.
´ n:
Solucio
Los c´ırculos de Gerschgorin por filas son:
a11 = 9

r1 = 1 + 2 + 1 = 4

a22 = 8

r2 = 1 + 1 = 2

a33 = 7

r3 = 1

a44 = 1

r4 = 1

El c´ırculo C4 (1, 1) es disjunto con los dem´as:

✓✏
1
✒✑

✬✩
✓✏
7
9
✒✑
✫✪

´
Algebra
Num´erica

56|a44 − a11 | = 8 > r4 + r1
|a44 − a22 | = 7 > r4 + r2
|a44 − a33 | = 6 > r4 + r3
Por tanto, en ´el hay un autovalor λ1 y los otros tres se encuentran en C1 ∪
C2 ∪ C3 .
El autovalor λ1 debe ser real ya que, si fuese complejo, su conjugado λ1 tambi´en
ser´ıa autovalor de la matriz1 y deber´ıa pertenecer a C4 cosa que no sucede,
pues en C4 s´olo existe un autovalor.
En conclusi´on: la matriz tiene,al menos, un autovalor real λ1 con 0 ≤ λ1 ≤ 2.
Los tres autovalores restantes no pueden ser complejos ya que P (λ) es una
ecuaci´on polin´omica de grado cuatro con coeficientes reales, por lo que debe
existir, al menos, otra ra´ız real de P (λ) y, por tanto, la matriz A tiene, al
menos, dos autovalores reales.

Ejercicio 4.4 Dada la matriz A =

2 + 3i 1 + 2i
1 + 2i 2 + 3i

se pide:

a) Comprobarque es normal sin calcular la matriz conmutatriz.
b) Calcular sus autovalores a partir de los de sus componentes herm´ıticas.
c) Comprobar que estos autovalores est´an en el dominio de Gerschgorin.
´ n:
Solucio
1
a) H1 = (A + A∗ ) =
2
H1 H2 =

8 7
7 8

2 1
1 2
H2 H1 =

H2 =
8 7
7 8

1
(A − A∗ ) =
2i

3 2
2 3

=⇒ H1 H2 = H2 H1 =⇒

A es normal.
b) Calculemos, en primer lugar los autovalores y...