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Apunte para Mat1012
Carolina B. Becerra O.
Marzo 2014

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´Indice general
1. L´
ogica
5
1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Induci´
on y Aplicaciones
17
2.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Polinomios
41
3.1. Problemas . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Algebra de Matrices
51
4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1
L´
ogica
Definici´
on 1.1. Una proposici´on es una afirmaci´on con valor de verdad.
Notaci´on: p, q, r, s. Un teorema es una afirmaci´on que debe ser demostrada.
Un corolario es una afirmaci´on que se deduce directamentede un teorema.
Ejemplo 1.2. p : 5 + 8 < 3 es una proposici´on. q : x + 3 = 5 no es una
proposici´on.
Definici´
on 1.3. Conectivos: Negaci´on: ¬. Conjunci´on: ∧. Disyunci´on: ∨.
Condicional: →. Bicondicional: ↔.

p

q

¬p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

V

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F V

V

F

V

V

F

F F

V

F

F

V

V

5

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

6

Ejemplo 1.4. La tabla de verdad de (p ∧q) ↔ (r → q).
p ∧ q r → q (p ∧ q) ↔ (r → q)

p

q

r

V

V

V

V

V

V

V

F V

F

F

V

V

F

V

F

F F V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F F

F

V

F

F

F

V

F

F F F

F

V

F

F V

F V

Observaci´
on 1.5. (p → q) ↔ (¬q → ¬p).
Ejemplo 1.6.
1. Si p ≡ V , q ≡ F y r ≡ V , determine el valor de verdad de:
[ (p ∨ q) ∧ (¬q → (r ∧ p)) ] ∨ q.

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2. Si p ∧ ¬q ≡ V , determine el valor de verdad de:
[ (p∨ ¬q) ↔ (¬q → (r ∨ p)) ]
3. Determine el valor de verdad de p, q, r sabiendo que (p → q) → (q →
r) ≡ F .
4. Determine el valor de verdad de p, q, r, s sabiendo que [(p → q) ∧ q ∧
s] ∨ [p → (q → r)] ≡ F .
Definici´
on 1.7. Tautolog´ıa: proposici´on que siempre es verdadera. Contradicci´on: proposici´on que siempre es falsa. (siempre: independiente del valor
de verdad de las proposiciones que laforman).
Ejemplo 1.8. (p ∨ q), p ∧ ¬q.
Proposici´
on 1.9. Tautolog´ıas:
¬¬p ↔ p
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
p∧q ↔q∧p
p∨q ↔q∨p
p∨p↔p
p∧p↔p
p ∨ ¬p
¬(p ∧ ¬p)
(p → q) ↔ (¬p ∨ q)
(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

8
p ∧ (q ∧ r) ↔ p ∧ (q ∧ r)
[(p → q) ∧ (q → p)] ↔ [p ↔ q]

Definici´
on 1.10. Dosproposiciones p y q son equivalentes si tienen el mismo
valor de verdad, es decir p ↔ q es una tautolog´ıa. Notaci´on es p ≡ q.
Ejemplo 1.11. Tautolog´ıas y equivalencias:
p∨V ↔V
p∨F ↔p
p∧V ↔p
p∧F ↔F
(¬p → F ) → p
Reducir [p → (p → q)] ∧ [¬(q ∧ ¬p)].
Definici´
on 1.12. Predicado: frase que depende de una variable. Notaci´on:
p(x)
Ejemplo 1.13. x < 2, x + 3 = 5
Observaci´
on 1.14. Variables: x, y,z, u, v. Constantes: a, b, c, π. Operaciones:
+, −, ·. Relaciones: <, >, ≤, ≥
Observaci´
on 1.15. Los predicados se convierten en proposici´on si se fija el
conjunto donde se toman las variables, y se fijan los elementos a considerar
en dicho conjunto. Lo anterior justifica la necesidad de introducir cuantificadores.
Definici´
on 1.16. Cuantificador universal: ∀. Cuantificador existencial: ∃.
Ejemplo1.17.

∀x ∈ N x > 0.

∃x ∈ N : x + 5 = 8.
∀x ∈ N∀y ∈ Nx + y > 0
∀x ∈ N∀y ∈ Nx + y < 0

1.1. CONJUNTOS

9

∀x ∈ N∃y ∈ Nx < y
∀x ∈ N∃y ∈ Ny < x
∃x ∈ N∀y ∈ Nx < y
∃x ∈ N∀y ∈ Ny < x
∀x ∈ Z∃y ∈ Zx + y = 0
∃x ∈ Z∀y ∈ Zx + y = 0
Observaci´
on 1.18. Negaci´on de cuantificadores:
¬∀x ∈ A p(x) ≡ ∃x ∈ A ¬p(x)
¬∃x ∈ A p(x) ≡ ∀x ∈ A ¬p(x)
Ejemplo 1.19. Ejemplos de demostraciones: a es par → a2 es par. a2 es par→ a es par.
Ejemplo 1.20. ∀x ∈ N(x > 1 ∨ x = 1) ← (∀x ∈ Nx > 1) ∨ (∀x ∈ Nx = 1)

1.1.

Conjuntos

Definici´
on 1.21. Dados A = {x ∈ R : p(x)} y B = {x ∈ R : q(x)}.
A − B = {x ∈ A : x ∈
/ B}.
A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A ∪ B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Ac = {x ∈ R : x ∈
/ A}.
A ⊆ B ↔ [x ∈ A → x ∈ B].
Conjunto vac´ıo. ϕ = {x ∈ R : x ∈
/ R}.
Proposici´
on 1.22. Propiedades:
A∪A=A

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

10...