1algebra

37
Factorización y fracciones

1 Operaciones Algebraicas
Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio
por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio y luego reducimos a
términos semejantes.
Ejemplo 1: Si P( x)
hallemos P(x)XQ(x)
Solución:
2
3

2 x



 2 x 2  x  5  Q( x)  5x 3  2 x 2  1



 x  5 . 5x  2 x2 1 

5
4
4
3
2
10
 4
x

2
x2 
x
2
x3
x 
5
x
5
25
x

10
x

 10 x 5  x 4  23x 3  8x 2  x  5
Ejemplo2:

Si

P( x)  a 2m 1  5a 2m  2  3a 2m

Q( x)  a 3m3  6a 3m1  8a 3m2 ;
Solución :

y

Hallar P( x) . Q( x)

(a 2 m1  5a 2 m 2  3a 2 m ) . (a 3m3  6a 3m1  8a 3m2 )

2
5m
5 m 1
5 m 1
5 m 1
5m
 a5 m

6
a

8
a

5
a

30
a
40
a


5 m 3
5 m 1
5 m2
 3
a

18
a

24
a


  30a 5 m1  46a 5 m  5a 5 m1  23a 5 m2  3a 5 m3

38

Ejemplo3:

1
1
1
3
1
1
Si P( x)  a 2  b 2  ab  Q( x)  a 2  ab  b 2 Hallar P( x) . Q( x)
3
2
5
4
2
4
1
1  3
1
1 
1
Solución :  a 2  b 2  ab  .  a 2  ab  b 2 
2
5  4
2
4 
3
1
1
1
3
1
1
 a 4  a 3 b  a 2 b 2  a 2 b 2  ab 3  b 4
4 6
8 4
8

12




3 3
1
1
1
19
47 2 2 1 3 1 4
a b  a 2b 2 
ab 3  a 4  a 3 b 
a b  ab  b
20
10
20
4
60
120
5
8




1 3  10  9  19



6
20
60
60

a 3b 3

 1 3 1  10  45  12 45
 


12
8
10
120
120


1 1  5 1  4 1




4
20
20
20
5




a 2b 2

12
6
3
1

ab3

8
4
2
1

10
5

1

2
2
2
3
5

m.c.m.= 120

División de polinomios: Para efectuar la división

p x 
, Qx   0escribimos el
Q x 

dividendo y divisor en orden decreciente de potencias; ó crecientes, cuando las
potencias son literales (si se quiere). Si faltan términos en el dividendo los
insertamos colocándoles cero (0) como coeficiente.
El proceso de la división termina cuando el grado del residuo es menor que el
grado del divisor.
Recordemos que: Dividendo = Divisor * Cociente + residuo

Dividendo
Residuo
 cociente 
Divisor
Divisor

39

Ejemplo4:

px   3a x5  19a x3  10a x 4  8a x 2  5a x1

Qx   a 2  3a  5

HallarPx   Qx 

Solución:

3a x 5  10a x  4  19a x 3  8a x  2  5a x 1

a 2  3a  5

 3a x 5  9a x  4  15a x 3

3a x 3  a x  2  a x 1

 a x  4  4a x 3  8a x  2  5a x 1
a x  4  3a x 3  5a x  2
a x 3  3a x  2  5a x 1
 a x 3  3ax  2  5a x 1
0
Ejemplo 5: Si P(x )  15x

3

 3x  1  Q(x )  3x 2  x  6

Hallar:

P (x )
Q(x )

Solución:

 3x  1

15 x3

 15 x3  5 x 2  30 x

3x 2  x  6
5x 

5
3

 5 x 2  33 x  1
5x2 

5
x  10
3

 94
x  11 Expresándo lo cociente mixto
3

 94
x  11
5
3
R / 5x   2
3 3x  x  6

Ejemplo6:

Dividir 3a6  5a5  9a 4  10a3  8a 2  3a  4 entre 3a3  2a 2  5a  4

40Solución:

3a 6  5a 5  9a 4  10a 3  8a 2  3a  4

3a 3  2a 2  5a  4

 3a 6  2a 5  5a 4  4a 3

a 3  a 2  2a  1

 3a 5  4a 4  6a 3  8a 2
 3 a 5  2a 4  5a 3  4a 2
 6a 4  a 3  12a 2  3a
 6a 4  4a 3  10a 2  8a
3a 3  2a 2  5a  4
 3a 3  2a 2  5a  4
0
Ejemplo 7: Hallar el cociente mixto de
Solución:

x 2  6 xy  y 2 entre x  y

x 2  6 xy  y 2 x  y
 x 2  xy

x  7y 7 xy  y

2

8y2
R / x  7y 
x y

 7 xy  7 y 2
8y2
Ejemplo 8: Hallar el cociente mixto de
Solución:

x 3  4 x 2  5x  8 entre x 2  2 x  1

41

x 3  4 x 2  5x  8 x 2  2 x  1
 x 3  2x 2  x

x6

6x 2  6x  8

R/ x6

6x  2
x 2  2x  1

 6 x 2  12 x  6
6x  2

2. Productos notables
Productos notables: Estos productos presentan reglas fijas que nos permiten
calcular elresultado directamente.

a  b2  a 2  2ab  b2

1. BINOMIO AL CUADRADO

Ejemplo 9: Efectuar los siguientes binomios al cuadrado:

3x  22  9 x 2  12 x  4

a.
b.

c.
d.

(10 x 3  9 xy 5 ) 2  100 x 6  180 x 4 y 5  81x 2 y10

x

m

y

 x

n2

2m

 2 x m y n  y 2n

( x a1  3x a2 ) 2  x 2a2  6 x 2a1  9 x 2a4

2. SUMA POR LA DIFERENCIA DE
DOS CANTIDADES IGUALES

(a...