2 2015 Apoyo Docente Curso Completo Cálculo I 1

Universidad Diego Portales
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA VESPERTINA
CARRERA: INGENIERIA EN INFORMATICA Y GESTION
CARRERA: INGENIERIA EN INDUSTRIA Y LOGISTICA

M a t e r i a l D o c e n t e: Calculo I
Parte 1: Orden, Desigualdades e Inecuaciones
Profesores: Héctor Carreño Gajardo
Marcel Saintard Vera

SANTIAGO, CHILE, U.D.P., Enero de 2013

Universidad Diego Portales

Escuela deIngeniería Vespertina

Parte I – Desigualdades e Inecuaciones en los reales

1.1.

Orden y Desigualdades en los números reales.
Definiciones. Intervalos en la recta numérica real.

1.2.

Inecuaciones

de

primer

grado.

Resolución.

Inecuaciones Enteras y Fraccionarias.
1.3.

Inecuaciones de segundo grado. Resolución. Regla de
los signos. Inecuaciones Enteras y Fraccionarias.

1.4.

ValorAbsoluto.

Definiciones

y

Propiedades.

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
1.5.

Sistemas de Inecuaciones de una variable.

Profesores.: H. Carreño G. – M. Saintard V.

Material Docente – calculo I – 1º semestre 2013 – Pág.: 2

Universidad Diego Portales

1.1.

Escuela de Ingeniería Vespertina

Orden y desigualdades en los Números Reales

1.

AXIOMAS DE ORDEN EN IR.
Existe un subconjuntode IR , llamado conjunto de los números reales positivos y denotados por IR  , que
satisface los siguientes axiomas:
Axioma 1

Para cada número real a sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a  0,
( a)  IR 
a  IR  ,

Axioma 2

Sí a, b  IR  , entonces (a  b)  IR  .

Axioma 3

Sí

a, b  IR  , entonces (a  b)  IR  .

El conjunto de los números reales negativos que sedenota por: IR  , se define por:

Def. 1.

IR    a  IR : (a)  IR  

Def. 2.

Si

a, b  IR , se dice que "a es mayor que b", y se escribe a  b , sí y sólo sí (a  b)  IR  .

Def. 2.

Si

a, b  IR , se dice que "a es menor que b",

Nota 1

y se escribe

a  b , sí y sólo sí b  a .

Aplicando las definiciones a las siguientes desigualdades a  0 y a  0 , se tiene que:

a0
a0

 (a 0)  IR   a  IR 
 (0  a)  IR   (a)  IR 
 a  IR 

IR    a  IR : a  0 

Lo anterior no significa otra cosa que
tiene que:

y

IR    a  IR : a  0  , donde se

IR    0   IR   IR

IR    0   

Además
Nota 2

IR   IR   

En la recta numérica real IR , un número real x es menor que
un número real y , lo que se denota por x  y , si x está a la
izquierda de

ya la derecha de
Nota 3

IR    0   

en dicha recta, o lo que es lo mismo, si

y

está

x.

En la recta numérica real el conjunto
0, y el conjunto IR
la idea de orden en



IR  está representado por todos los puntos a la derecha del origen

por todos los puntos a la izquierda de 0 (origen). Con esta representación gráfica,

IR y el primer axioma dado resultan evidentes.

Profesores.: H.Carreño G. – M. Saintard V.

Material Docente – calculo I – 1º semestre 2013 – Pág.: 3

Universidad Diego Portales

Proposición:

Definición 4

Si a y b son dos números reales cualesquiera, se verifica exactamente una de las tres condiciones siguientes
a  b,
a  b,
a b.
Dados dos números reales a, b cualesquiera, si dice que "a es mayor o igual que b", lo que se denota por

ab
Definición 5

a b

sí:

a  b

sí:

a  b
 
a  b

Dados dos números reales a, b cualesquiera, si dice que "a es menor o igual que b", lo que se denota por

ab
2.

Escuela de Ingeniería Vespertina

a  b
 
a  b

INTERVALOS.
Si

a  b , el conjunto de todos los números reales x , que son simultáneamente menores que b y mayores
a , se representa por  x  IR : a  x  b  , o simplemente como ladesigualdad a  x  b . Este

que





conjunto se denomina intervalo abierto y se denota por a, b . Los números a y b son los extremos del
intervalo. La tabla siguiente es un resumen de varias clases de intervalos y su respectiva representación
gráfica en la recta numérica:

Nota 1:

Intervalo

Símbolo

Conjunto Definición

Abierto

 a, b 

x : a  x  b 

Cerrado

 a, b 

x:a  x  b...