Cálculo I Parcial 1 Sem 1 2015 Resuelto

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE INGENIERIA
Departamento de Matemática Aplicada
Cálculo I

18/04/2015

Primer examen parcial (20%)
Nombre y Apellido: __________________________ CI: ___________ Sección: ___
1. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
a.

𝑥 3 −1

𝑥 2 −5𝑥+6

Factorizando:

≥0

(𝑥−1)�𝑥 2 +𝑥+1�
(𝑥−2)(𝑥−3)

≥0

Para evaluar los signos, se ve que valortoma cada factor en la vecindad de los
valores donde se anula.
Como 𝑥 2 + 𝑥 + 1 no se anula para ningún número real, se verifica que es positivo
siempre. Por esta razón sólo se tomarán en cuenta el resto de los factores.

Entonces los valores para los cuales la inecuación es mayor o igual a cero son:

b. |4 − 𝑥| + |2𝑥 − 1| ≤ 4

[𝟏 , 𝟐) ∪ (𝟑 , +∞)

Para resolver esta inecuación debemos quitar lasbarras de valor absoluto y para ello
consideramos la definición de V.A. y los valores donde el argumento del valor absoluto
cambia de signo.

2𝑥 − 1 𝑠𝑠 𝑥 ≥ 1/2
4 − 𝑥 𝑠𝑠 𝑥 < 4
|4 − 𝑥| = �
, |2𝑥 − 1| = �
1 − 2𝑥 𝑠𝑠 𝑥 < 1/2
𝑥 − 4 𝑠𝑠 𝑥 ≥ 4

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Entonces, tenemos 3 casos a considerar:
a) Si 𝑥 ∈(−∞ , 1/2)

(4 − 𝑥) + (1 − 2𝑥) ≤ 4 ⇒ −3𝑥 ≤ −1 ⇒ 𝑥 ≥ 1/3

Entonces el conjunto que satisface es: (−∞ , 1/2) ∩ [1/3 , ∞) ⇒ [1/3 , 1/2)
b) Si 𝑥 ∈ [1/2 , 4]

(4 − 𝑥) + (2𝑥 − 1) ≤ 4 ⇒ 𝑥 ≤ 1

Entonces el conjunto que satisface es: [1/2 , 4] ∩ (−∞ , 1] ⇒ [1/2 , 1]
c) Si 𝑥 ∈ (4 , ∞)

(𝑥 − 4) + (2𝑥 − 1) ≤ 4 ⇒ 3𝑥 ≤ 9 ⇒ 𝑥 ≤ 3

Entonces el conjunto que satisface es: (4 , ∞) ∩ (−∞ , 3] ⇒ ∅

La solución finalserá la unión de los 3 casos: [1/3 , 1/2) ∪ [1/2 , 1] ⇒ [𝟏/𝟑 , 𝟏]

2. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (0 , 3) y que equidistan de los
puntos (−1 , 5) y (7 , 3).
Tenemos que la ecuación general de una recta es: 𝑦 = 𝑚𝑚 + 𝑏. Si la misma pasa
por el punto (0 , 3), entonces la recta será:

3 = 𝑚(0) + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 3 y la recta queda: 𝒚 = 𝒎𝒎 + 𝟑
Luego: si equidista de los puntos 𝑃1(−1 , 5) y 𝑃2 (7 , 3) entonces, la distancia punto-

recta con respecto a ambos puntos debe ser igual.

𝑑 (𝑃, 𝑅 ) =

�𝑦𝑝 −𝑚𝑥𝑝 −3� 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 |5−𝑚(−1)−3|
√1+𝑚2

��������

√1+𝑚2

=

|3−𝑚(7)−3|
√1+𝑚2

⇒ |2 + 𝑚| = |−7𝑚| ⇒ 2 + 𝑚 = ±7𝑚 entonces:
𝑚1 = 1/3 y 𝑚1 = −1/4
Y las rectas:

𝒙

𝒚= +𝟑
𝟑

y

𝒙

𝒚=− +𝟑
𝟒

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3. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en A, un foco en B y un vértice en C,
donde:
a) A es el vértice de la parábola: 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
b) B es el centro de la circunferencia: 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 − 9 = 0.
c) C es el foco de menor ordenada de la hipérbola: −𝑥 2 + 3𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0.

Procederemos a hallar las coordenadas de los puntos A, B y C respectivamente:De la parábola: 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 ⇒ (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) − 𝑦 + 1 =

⇒ (𝑥 − 1)2 = 𝑦 − 1
𝑉𝑝𝑝𝑝á𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 , 𝟏)

De la circunferencia: 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 − 9 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 −

(𝑥 2 − 2𝑥) + 𝑦 2 =

9

2

=0

9
9
9
⇒ (𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 𝑦 2 = ⇒ (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = + 1
2
2
2
𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑭𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 , 𝟎)

De la hipérbola: −𝑥 2 + 3𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0 ⇒ −(𝑥 2 − 2𝑥) + 3(𝑦 2 − 2𝑦) = 1

−(𝑥 2 −2𝑥 + 1 − 1) + 3(𝑦 2 − 2𝑦 + 1 − 1) = 1
−(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 3(𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 1 − 1 + 3
(𝑥 − 1)2
=1
−(𝑥 − 1)2 + 3(𝑦 − 1)2 = 3 ⇒ (𝑦 − 1)2 −
3
𝐶ℎ𝑖𝑖é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = (1 , 1)
𝑎2 = 1
𝑏2 = 3

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 1 + 3 = 4 ⇒ 𝑐 = 2
Los focos son: 𝐹1 = (1 , 3) y 𝐹2 = (1 , −1), como el de menor ordenada es 𝐹2 , entonces:
𝐹2 = 𝑽𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = (𝟏 , −𝟏)

Con los puntos obtenidos se puede notar que la elipse tiene eje principalvertical, por lo que
la ecuación es de la forma:

Donde: 𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆

(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
= (𝟏 , 𝟏) = (𝒉 , 𝒌)
𝒂 = 𝒅�𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 , 𝑽𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 � = 𝟏 − (−𝟏) = 𝟐
𝒄 = 𝒅�𝑪𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 , 𝑭𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 � = 𝟏 − 𝟎 = 𝟏

𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑

Siendo la ecuación de la elipse:

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(𝒙 − 𝟏)𝟐 (𝒚...