2 Exp Log 1

LMDE

Algebra

Ejercicios Logaritmos (1)
Definición

I. Previo.
1) ¿Qué valor de x es solución de la ecuación 2 x = 32 ?. Respuesta. x = 5 , ya que 2 5 = 32 .

Notar que, en la ecuación 2 x = 32 la variable es el exponente.
2) ¿Qué valor de x satisface la ecuación 2 x = 25 ?.
Solución. Como 2 4 = 16 y 2 5 = 32 , luego el valor de x que satisface la ecuación 2 x = 25
debe ser un número entre 4 y5.
Usando calculadora, se puede obtener un valor aproximado de x , completando tabla de valores:
x
x
2x
2x
4
16
4,61
≈ 24,420
4,1
≈ 17,148
4,62
≈ 24,590
4,2
4,63
≈ 18,379
≈ 24,761
4,3
4,64
≈ 19,699
≈ 24,933
4,4
4,65
≈ 21,112
≈ 25,107
4,5
≈ 22,627
Luego: x toma un valor
4,6
entre 4,64 y 4,65
≈ 24,251
4,7
≈ 25,992
Por lo tanto x = 4,64………
Luego: x toma un valor entre
Notar que 2 4,64 ≈ 24,933
4,6 y4,7

Completando una nueva tabla, se encuentra que x toma un valor entre 4,643 y 4,644; es
decir, una solución más aproximada es x = 4,643 ………., etc.
Notación.
•
Al número x tal que 2 x = 25 se denota log 2 25 y se lee “logaritmo de 25 en la base 2”.
Luego log 2 25 ≈ 4,643.....
•
Al número x tal que 2 x = 32 se denota log 2 32 y se lee “logaritmo de 32 en la base 2”.
Notar que log 2 32 = 5.
II.Definición. El logaritmo de un número M en una base a , denotado log a M es el exponente al

que se debe elevar la base a para obtener M. Es decir a log a M = M .
Nota: La base a es un número real positivo, distinto de 1.
Luego:
log a ( M ) = x si y solo si a x =M
Ejemplos
1) log 2 32 = 5 , ya que 2 5 = 32
2) Como 3 2 = 9, luego log 3 9 = 2
1

3) Como 161 / 2 = 16 = 4 , luego

log16 ( 4) =

1
.
24) Calcule log 3 81 .
Solución. Una manera de calcular log 3 81 es como sigue: Sea log 3 81 = x . Luego,

3 x = 81 . Como 81 = 3 4 , luego x = 4 . Por lo tanto log 3 81 = 4.
5) Calcular a) log16 (8)
b) log 3 90
Solución.
a) Sea log16 (8) = x . Se debe encontrar x tal que 16 x = 8 , equivalente a 2 4 x = 2 3 .
3
3
Resolviendo la ecuación 4 x = 3 se obtiene x = . Luego log16 (8) = .
4
4
x
4
b) Sealog 3 90 = x . Luego, se debe resolver 3 = 90 . Como 3 = 81 y 35 = 243,
luego x es un número entre 4 y 5, por lo tanto x = 4,...... Como ejercicio, calcule un
valor aproximado de x con dos decimales.
6) ¿Existe log 2 ( −8) ?. Justifique.
Solución. Sea log 2 ( −8) = x . Luego, se debería resolver 2 x = −8 .
¿Existe un valor de x tal que 2 x = −8 ?.
7) ¿Existe log 42 1 ?. Justifique su respuesta.Solución. Sea log 42 1 = x . Luego, se debería resolver 42 x = 1 . Verifique que x = 0
es solución de esta ecuación. Luego log 42 1 = 0.
8) ¿Existe

log 4 0 ?. Justifique.

Solución. Sea log 4 0 = x . Luego, se debería resolver 4 x = 0 .
¿Existe un valor de x tal que 4 x = 0 ?.
9) Ejercicio. ¿Existe cada uno de los siguientes logaritmos?. Escriba una conclusión.
b) log 4 ( −64)
c) log1 / 2 ( −16) d)log(−100)
a) log 2 ( −32)

III. Logaritmos en una base especial: base 10 , es decir a = 10 .
El logaritmo de un número M en la base 10, usando la notación dada anteriormente quedaría
log10 M .
Sin embargo, el logaritmo de M en base 10, se denota usualmente log( M ) , o simplemente
log M , sin escribir explícitamente la base 10.
Luego, cuando en una expresión con logaritmo no aparece anotada labase, significa que la
base es 10. Así:
log M = x si y solo si 10 x =M
Ejemplos
1) log(100) = 2 , ya que 10 2 = 100.
2) Como 10 3 = 1000, luego log 1000 = 3 .

3) Como 10 −1 = 0,1 , luego log(0,1) = −1 .
Nota. Las calculadoras científicas tienen una tecla especial para calcular logaritmos en base 10.
La tecla es log
2

IV. Ejercicios
1) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta:

a)

log 3243

f) log 9 27

b) log 5 125

c) log 6 36

d) log 49 7

⎛1⎞
g) log 3 ⎜ ⎟
⎝ 3⎠

h) log 2 (0,125)

⎛1⎞
i) log 4 ⎜ ⎟
⎝2⎠

2) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta:
b) log 3 (9 4 )
c) log 9 (35 )
a) log 3 (35 )
f) log1 / 9 (34 )

g)

log16 ( 4)

h) log 27 (81)

e) log8 4

d) log 9 ( 27)

e) log 9 ( 27 4 )

i) log1 / 9 (34 )

i) log 25 (125)

3) Verifique cada afirmación, y escriba el...