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Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Transformaciones
Lineales

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Transformaciones Lineales

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• Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones
en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.
En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se
pueden usar para representar ecuaciones,en Análisis sirven para
aproximar localmente funciones, por ejemplo.
• Sean V , W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K
Una función T de V en W transforma vectores de V en vectores de
Impondremos condiciones para que T preserve las operaciones de
suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea
equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en V
como las imágenesen W .

W.

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1

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T
V
•u

W
• T(u)

•v
• u+v

• T(v)

• au

• T(u) + T(v)
•T(u+v)
• T(au)
• aT(u)
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Transformaciones Lineales

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Definición:

Sean V , W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K
T : V → W es una transformación lineal de V en W si:
1) ∀u, v ∈ V , T(u + v ) = T (u ) + T (v )

2) ∀a ∈ K , ∀v ∈ V , T (av ) = aT (v )

Observaciones:
1) Es usual denotar con los mismos símbolos

y ⋅ (símbolo que se omite)
la suma y el producto
por escalar definidos sobre los espacios vectoriales V y W
+

como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes.
2) T también se llama aplicación lineal.

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2

Transformaciones Lineales
3) T es transformaciónlineal

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⇔ ∀a, b ∈ K , ∀u , v ∈ V , T (au + bv ) = aT (u ) + bT (v )

4) Transformaciones lineales preservan combinaciones lineales.
Esto es:
Sea

T :V → W

transformación lineal. Entonces, para

ai ∈ K , vi ∈V , i = 1,2,..., n

T (a1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n ) = a1T (v1 ) + a 2 T (v 2 ) + ... + a n T (v n )

Se cumple que:
Si V , W son espaciosvectoriales sobre un cuerpo K
una transformación lineal. Entonces:

y

T :V → W

1)T ( 0V ) = 0W

2)T ( −v ) = −T ( v ) ,

∀v ∈V

3)T ( v − w) = T ( v ) − T ( w) ,

∀v, w ∈ V
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Transformaciones Lineales

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Algunas transformaciones lineales:
1)

2)

T : V → W , T ( v ) = 0W , ∀v ∈ V

Transformación lineal Nula .

T : V → V , T ( v ) = cv, ∀v ∈ V, con c ∈ K , c fijo.

En particular, si c =1:

IV : V → V , IV ( v ) = v, ∀v ∈ V

3) Sea

Transformación lineal Identidad .

A ∈ M m×n (R)

Entonces T : Rn → R m , T ( v ) = Av es transformación lineal.
Transformación determinada por la matriz A

(El producto matricial Av está definido si los vectores se
colocan como vectores columnas).

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No son transformaciones lineales:
1)

2)

La función determinante

det ( A + B ) ≠ det A + det B,

ya que:

det : M n ( K ) → K

det ( kA) = k det A ≠ k det A,

para

n

n >1

Si V es un espacio vectorial sobre K y v0 ∈ V , v0 ≠ 0V ,
la función traslación por el vector v0 definida por
T ( v ) = v + v0

ya que

∀v ∈ V

T ( 0 V ) = v 0 ≠ 0V

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TransformacionesLineales

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KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Definición:
Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , con T : V → W
una transformación lineal
1) El kernel de T

denotado

KerT

es el conjunto

KerT = {v ∈ V / T (v ) = 0 W }

(También se le llama núcleo y se anota Nu T )

2) La imagen de denotada

Im T , es

el conjunto:

ImT ={w∈W / w= T ( v) , para algun v ∈V }
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T
V

•

Ker T

• 0•
• •
•
• •

W

•
• •

ImT

•••

• 0

•

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Se cumple:
1)

es un subespacio vectorial de V .
La nulidad de T , es la dimensión del kernel de T . Se anota: n (T )

KerT

2) Im T es un...