22cd

Código: 26

PAU
XUÑO 2014
MATEMÁTICAS II

(O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada
opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio 3= 2 puntos, exercicio 4= 2 puntos)

݉
1. a) Estuda, segundo os valores de ݉, o rango da matriz ‫ = ܣ‬൭ 1
1
b) Coincide ‫ ܣ‬coa súa inversa para algún valor de ݉?

OPCIÓN A1
݉
݉

3
2൱
3

1
3
c) Determina unha matriz simétrica ܺ de orde 2 tal que ܺ ∙ ቀ ቁ = ቀ ቁ e o determinante da matriz
1
5
3ܺ sexa -9

2. a) Calcula o punto simétrico do punto ܲሺ−2,0,2ሻ respecto ao plano ߨ: 3‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ ݖ‬− 3 = 0.
b) Sexa ‫ ݎ‬a recta perpendicular ao plano ߨ: 3‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ ݖ‬− 3 = 0 e que pasa polo punto ܲሺ−2,0,2ሻ.
=0
Consideremos a recta ‫ݏ‬: ൜ 2‫ ݕ – ݔ‬−3‫ݖ‬
‫ݔ‬
−
‫ ݖ‬− 10= 0
Estuda a posición relativa de ‫ ݎ‬e ‫ݏ‬. Calcula a ecuación do plano paralelo a ‫ ݏ‬que contén a ‫ݎ‬.

3. a) Define función continua nun punto. ¿Que tipo de discontinuidade ten ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ௫ మ ିଶ௫ nos puntos
‫ = ݔ‬0 e ‫ = ݔ‬2?
b) Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ଷ − 6‫ ݔ‬ଶ + 1 no seu punto de
௫ మ ିସ

inflexión.

4. a) Calcula lim௫→ଵ
b)Calcula

(Nota: ݈݊ = logaritmo neperiano)

୪୬ ሺଶ௫ିଵሻ
௫ మ ି √௫

ଵ
௘ೣ
‫׬‬଴ ௘ మೣ ାଷ௘ ೣ ାଶ ݀‫ݔ‬

OPCIÓN B

1.a) Discute, segundo os valores do parámetro ݉, o seguinte sistema de ecuacións lineais:
3‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬− 2‫ ݉ = ݖ‬+ 9
݉‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬− ‫ = ݖ‬0
3‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 5‫ = ݖ‬0
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso ݉ = −9.

2. a) Define o producto vectorial de dous vectores. Dadosos vectores ‫ = ݑ‬ሺ2,2,0ሻ, ‫ = ݒ‬ሺ1,1, −1ሻ,
calcula os vectores unitarios e perpendiculares aos dous vectores ‫ ݑ‬e ‫ݒ‬.
௫
௬ିଶ
௭ିଶ
b) Calcula o valor de ܽ para que a recta
‫ݎ‬: ଶ = ଺ = ିସ
non corte ao
plano
ߨ: 5‫ ݔ‬+ ܽ‫ ݕ‬+ 4‫ = ݖ‬5. Para ese valor de ܽ, calcula a distancia da recta ao plano.

3. a) Dada a función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ௖௫ିଵ calcula os valores de ܽ, ܾ, ܿ sabendo que ‫ = ݔ‬ଶ é unhaasíntota
vertical e que ‫ = ݕ‬5‫ ݔ‬− 6 é a recta tanxente á súa gráfica no punto correspondente a ‫ = ݔ‬1. Para
os valores de ܽ, ܾ, ܿ calculados, posúe ݂ሺ‫ݔ‬ሻ máis asíntotas?
b) Enuncia o teorema do valor medio do cálculo diferencial. Pódese aplicar, no intervalo ሾ0,1ሿ, este
ଵ
teorema á función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
? En caso afirmativo calcula o punto ao que fai referencia o teorema.
ଶି௫
௔௫ା௕

ଵ4. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola gráfica da parábola ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ ݔ‬ଶ e a recta normal á
gráfica de ݂ሺ‫ݔ‬ሻ no punto correspondente a ‫ = ݔ‬1. (Nota: para o debuxo das gráficas, indicar os
puntos de corte cos eixes, o vértice da parábola e concavidade ou convexidade).

Código: 26

PAU
SETEMBRO 2014
MATEMÁTICAS II

(O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha dasopcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada
opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio 3= 2puntos, exercicio 4= 2puntos)

OPCIÓN A

1. a) Define menor complementario e adxunto dun elemento nunha matriz cadrada.
1 0 2
b) Sexan ‫ ܫ‬a matriz identidade de orde 3 e ‫ = ܣ‬൭1 1 0൱, determina os valores de ߣ para os que
2 0 1
‫ ܣ‬+ ߣ‫ ܫ‬non ten inversa.
c) Calcula amatriz ܺ que verifica ‫ ܺܣ‬− ‫ = ܣ‬2ܺ, sendo ‫ ܣ‬a matriz dada no apartado b).

‫ = ݔ‬2 + 2ߣ − ߤ
2. Dado o plano ߨ: ൝ ‫ = ݕ‬1 − 2ߣ + ߤ
‫=ݖ‬4
+3ߤ

‫ݔ‬+
‫ݖ‬−4=0
‫=ݕ‬3

e a recta ‫ݎ‬: ൜

a) Estuda a posición relativa de ߨ e ‫ݎ‬. Se se cortan, calcula o punto de corte.
b) Calcula o ángulo que forman ߨ e ‫ݎ‬. Calcula o plano que contén a ‫ ݎ‬e é perpendicular a ߨ.

3. a) Calcula lim௫→଴௖௢௦௫ି ௘ షమೣ ି ଶ௫
௦௘௡మ ௫

b) Queremos dividir un fío metálico de 70 metros de lonxitude en tres partes de maneira que unha delas
teña dobre lonxitude que outra e ademais que ao construír con cada parte un cadrado, a suma das
áreas dos tres cadrados sexa mínima. Calcula a lonxitude de cada parte.

4. a) A segunda derivada dunha función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ݂"ሺ‫ݔ‬ሻ = 4݁ ଶ௫ − 2‫ݔ‬. Ademais a tanxente...