29septiembre2015 Introduccion Funciones Trigonometricas

Introducción a la trigonometría
y a las funciones
trigonométricas

Shirley Bromberg
Raquel Valdés

Un poquito de historia
Trigonometría es una palabra de etimología
griega, aunque no es una palabra griega. Se
compone de trigonon que significa triángulo
y metria que significa medición. Y se habla
de ella como matemática práctica.

La trigonometría resuelve el siguiente
problema: conocidosalgunas de las
componentes de un triángulo, determinar las
restantes
La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos
datos determinan que salvo por posición un
triángulo de lados dados, la trigonometría
(práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
c

b

a

a2 + b2 = c2,conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.

Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este
problema.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y
su hipotenusa será,por el Teorema de
Pitágoras igual a c/r.

NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los
puntos de la retícula. Los triángulo de las
esquinas tienen los mismos ángulos.

Las observaciones anteriores permiten
resolver el siguiente

Problema
¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una
sombra de 4 m si
se encuentra al
lado de Alberto
que mide 1.75 m
y proyecta una
sombra de 3.5 m ?

Sigamos con elproblema de encontrar los
ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”,
que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa
unitaria.

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

c
b
de

1
pasamos a

a

a2 + b2 = c2

b/c

1
a/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

Relacionamos ángulos y longitudes
con Tablas de Cuerdas



cuerda 

En uncomienzo, a cada ángulo se
asoció la cuerda subtendida por él
en una circunferencia de radio fijo.

Tablas de cuerdas
/2
/2

Razonando con la figura al
lado se muestra que

cuerda 

sen
2
2

Tablas de cuerdas
Para conseguir nuevos valores se
usa la identidad

1 cos 

sen 


2 sen
1  cos 
2
2

y se obtienen tablas de cuerdas que
van de 5o en 5o.

Construcción de Tablas
ángulo
60

o30o

cuerda

3
2

1

2

3

15o

2
45o

seno

?

1/2

coseno

tangente

1/2

3
3
2

1
3

2 3
2

2 3
2

1
2 3

2
2

2
2

1

La figura muestra las funciones
trigonométricas asociadas a un ángulo agudo
ubicado en una circunferencia
co
ta
ng
en
te
coseno tan
ge
nt

sen 





e

cos 

seno

cosecante

rad
io



tan 

secante

cotan 
sec 
cosec 

Funciones
trigonométricas: seno de
un ánguloagudo
cateto opuesto a
sen  

hipotenusa
c

1

c
a


b


b/c

a/c

Funciones
trigonométricas: coseno
de un ángulo agudo
cateto adyacente b
cos  

hipotenusa
c

1

c
a


b



b/c

a/c

Funciones trigonométricas:
tangente y cotangente de un
ángulo agudo
cateto opuesto
a
cateto adyacente b
tan  

cotan  

cateto adyacente b
cateto opuesto
a

1

c
a


b


b/c

a/c

Funcionestrigonométricas:
secante y cosecante de un
ángulo agudo
hipotenusa
c
sec  

cateto adyacente b

1

c
a


b

hipotenusa
c
cosec  

cateto opuesto a


b/c

a/c

Todas las funciones trigonométricas de
un ángulo agudo pueden expresarse a
partir de una de ellas, a modo de
ejemplo tomemos sen
cos 

2
1
sen

=

tan 

=

cotan  =
sec 

=

cosec  =

Identidades Trigonométricas

1



cos 

sen

La identidad fundamental
es consecuencia del
Teorema de Pitágoras
2

2

sen   cos  1

Identidades Trigonométricas

1




cos 

sen 

Si  es el ángulo complementar
de  , hay un triángulo rectángu
que los tiene como ángulos agud
y se tiene que


cos  sen  sen 90




 

sen  cos  cos 90  


Identidades Trigonométricas
En una diapositiva anterior
demostramos que
1...