2do parcial Matematica Blumenfarb fadu resuelto

MATEMÁTICA II – On line - 2do PARCIAL
Curso 2008 - 27/09/08
TEMA 1 . (No resolver ejercicios en el temario, no serán corregidos).
Apellido y nombre: __________________________DNI: ____________
Prof. Tutor: _____________
Derivadas e Integrales

Probabilidad y Estadística

Topografía

1)

3)a)

a)

2)

b)

c)

4)

Derivadas e Integrales
1)

Cinco parcelas rectangulares eidénticas entre sí, se encuentra
dispuestas como se indica en la figura. En total ocupan una super2
ficie de 2000 m . El cerco perimetral que la rodea (línea llena) cotiza a razón de $10/m mientras que, el alambrado que las separa
entre sí (línea punteada) cotiza a $4/m ¿cuáles serán las dimensiones de cada lote que minimizan el costo total? ¿Cómo sabemos
que el costo es mínimo y cuál es suvalor?

Nota

b)

Sup Total
Ocupada
2
2000 m

y

Sugerencia: Contar bien y no olvidar los costos.

x

Resolución: Como hay cinco parcelas rectangulares debe pasar que:
400
5.x.y = 2000 ⇒ x.y = 400 ⇒ y =
x
La expresión del costo viene dada por:

C = 10.(6 x + 6 y ) + 4.(2x + 2y )

⇒

C = 68 x + 68 y

⇒

C = 68 x + 68.

Luego:

C' = 68 −
Igualando a cero resulta:68 −

27200
x2

400
27200
= 68 x +
x
x

27200
x2
=0

⇒

x 2 = 400

⇒

x = 20

Siendo x = 20 ⇒ y = 20
Falta demostrar que se trata de un mínimo costo. Para ello recurrimos al criterio de la derivada segunda:

27200

Como C' = 68 −

⇒

C' ' =

54400

> 0 ⇒ es un mínimo
x
x3
Para hallar el costo mínimo reemplazamos en la ecuación de costos original
27200
27200C min = 68.x +
= 68.20 +
= 2720
x
20
Así resulta que el costo mínimo con los requisitos solicitados sea de $2720
2

y
16

2) A la derecha se puede visualizar una región plana descomponible en
rectángulos. Calcular las coordenadas de su centro de gravedad y el
momento de inercia respecto de cada eje cartesiano. (La figura no
se encuentra necesariamente en escala)
Resolución: Vamos adividir la figura en porciones rectangulares según convenga: Ello se indica en la gráfica por las letras A,
B y C.
Como cada porción es rectangular su centro de gravedad estará
donde se cruzan sus diagonales. Así tenemos:

g A = (2 ; 6)
g B = ( 6 ; 8)

y
y

g C = (10 ;11)
Como

x G=

Área A = 16
Área B = 64

y

Área C = 24

∑ x .A
1

AT

∑ y .A

i

=

2.16 + 6.64+ 10.24 656 82
=
=
≅ 6, 3
16 + 64 + 24
104 13

6.16 + 8.64 + 11.24 872 109
=
=
≅ 8, 4
16 + 64 + 24
104 13
AT
Luego G ≅ (6, 3 ; 8, 4)
y G=

1

i

=

14

B

8

4

C

A

x
4

8

12

MATEMÁTICA II – On line - 2do PARCIAL
Curso 2008 - 27/09/08
Para calcular el momento de inercia mantenemos la misma partición de rectángulos aunque ello no es obligatorio.Respecto del eje “X”
Para “A” aplicando Steiner:

M

( 2)
x

2
bh 3
4.43
64
1792
=
+ A.d x =
+ 16.6 2 =
+ 576 =
12
12
3
3

bh 3
4.16 3 16384
=
=
3
3
3
2
bh 3
4. 6 3
Para “C” aplicando Steiner: M(x2) =
+ A.d x =
+ 24.112 = 72 + 2904 = 2976
12
12
Para “B”: M(x2) =

Luego: M(x2) =

1792 16384
27104
+
+ 2976 =
3
3
3

Respecto del eje “Y”
hb 3
4. 4 3256
=
=
Para “A”: M(x2) =
3
3
3
2
hb 3
16.4 3
256
7168
Para “B” aplicando Steiner: M(x2) =
+ A.d x =
+ 64.6 2 =
+ 2304 =
12
12
3
3
3
3
2
hb
6. 4
Para “C” aplicando Steiner: M(x2) =
+ A.d x =
+ 24.10 2 = 32 + 2400 = 2432
12
12
Luego: M(y2) =

256 7168
14720
+
+ 2432 =
3
3
3

Probabilidades y Estadística (No se corregirán ejercicios que no contengan unrazonamiento probabilistico o con fórmulas que lo justifiquen)
3) En una ciudad hay dos estaciones de radio que compiten entre sí; ellas son “FM Azul” con 54% de los oyentes y
“FM Star” con el 46% restante. Entre aquellos que son oyentes de “Azul”, se sabe que el 40% lo hace por su programación periodística mientras que, en “Star” esa cifra es del 45%.
Si en un determinado día, se entrevista algún...