Parcial resuelto

Universidad de Antioquia
Facultad de Educación
Licenciatura en Matemáticas y física
Cálculo en una variable.
Evaluación Parcial del 20%.
Primer punto (25%)
Razón de cambio:
Escalera deslizante Una escalera de 25 pies de longitud está
apoyada sobre una pared (ver la figura). Su base se desliza por la
pared a razón de 2 pies por segundo.
a) ¿A qué razón está bajando su extremo superior por lapared
cuando la base está a 7, 15 y 24 pies de la pared?
b) Determinar la razón a la que cambia el área del triángulo
formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base de la
primera está a 7 pies de la pared.
Rta/ a) −
b)

527𝑝𝑖𝑒 2

7𝑝𝑖𝑒𝑠
12 𝑠𝑒𝑔

, −

3𝑝𝑖𝑒𝑠
2 𝑠𝑒𝑔

, −

48𝑝𝑖𝑒𝑠
7 𝑠𝑒𝑔

24𝑠𝑒𝑔

Segundo punto (25%)
Realice la gráfica de la función: 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3
𝑥−1

Hallando:





Dominio.
Interceptos con los ejes.
Asíntotas Horizontales y verticales (𝑦 = 𝑥 + 1 es una asíntota oblicua).
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Analice la concavidad y determine los puntos de inflexión.

Tercer punto (50%)
Optimización:
1.

Una ventana tipo Norman consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el
perímetro de una ventana Norman es 32 pies, determinecuánto debe medir el radio del
semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz.
Rt/ 𝒓 =

2.

𝟑𝟐
𝟒+𝝅

=𝒚

Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies, están a 30 pies de distancia. Se
sostienen por dos cables, conectados a una sola estaca, desde el nivel del suelo hasta la parte
superior de cada poste. ¿Dónde debe colocarse la estaca paraque se use la menor cantidad de
cable? ¿Cuál es la menor cantidad de cable?
Rta/ a 9 pies del poste más corto y 50 pies de cable.

Solución:
Primero:

Sean:
𝑦: longitud de la parte superior de la escalera al piso.
𝑥: longitud desde la pared a la base de la escalera
Por el Teorema de Pitágoras se tiene que:
252 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ⇒ 𝑦 2 = 252 − 𝑥 2
Usemos derivación implícita con respecto al tiempo yhallemos

𝑑𝑦
𝑑𝑡

, teniendo en cuenta que:

𝑑𝑥
= 2, 𝑠𝑖 𝑥 = 7, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 24; 𝑠𝑖 𝑥 = 15, 𝑦 = 20; 𝑠𝑖 𝑥 = 24, 𝑦 = 7
𝑑𝑡
2𝑦

𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥
= −2𝑥
⇒
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑦 𝑑𝑡

Si reemplazamos los valores indicados, se tiene que:




𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡

= 2, 𝑥 = 7, 𝑦 = 24

{

= 2, 𝑥 = 15, 𝑦 = 20
= 2, 𝑥 = 24, 𝑦 = 7

𝑑𝑦

{

{

=−

𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡

7

=−

=−

(2) 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠 = −

24
15
20
24
7

7

(2) 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠 = −

(2) 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠 =−

𝑝𝑖𝑒⁄
𝑠

12
3 𝑝𝑖𝑒
2
48 𝑝𝑖𝑒
7

⁄𝑠

⁄𝑠

Ahora hallemos una expresión para el área del triángulo:
𝐴=

1
𝑥𝑦
2

Derivando implícitamente con respecto al tiempo, tenemos:
𝑑𝐴 1 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥
+𝑦 )
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Si:

𝑑𝑥
𝑑𝑡

=2

𝑑𝑦
7 𝑝𝑖𝑒
𝑝𝑖𝑒⁄
𝑠 , 𝑥 = 7, 𝑦 = 24 y 𝑑𝑡 = − 12 ⁄𝑠, entonces se tiene que:
2
𝑑𝐴 1
7 𝑝𝑖𝑒
49
⁄𝑠) + 24𝑝𝑖𝑒 (2 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠)) = (− + 24) 𝑝𝑖𝑒 ⁄𝑠
= (7𝑝𝑖𝑒 (−
𝑑𝑡 2
12
24

𝑑𝐴 −49 + 576 𝑝𝑖𝑒 2
527 𝑝𝑖𝑒 2
⁄𝑠=
⁄𝑠
=
𝑑𝑡
24
24

Segundo:𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3
𝑥−1



Dominio de la función:
Como la división por cero no está definida, entonces se tiene que:
𝑥−1≠0 ⇒𝑥 ≠1
Por lo tanto el dominio de f es: ℝ − {1}



Asíntotas:
Verticales: Hallemos límites laterales de la función cuando x tiende a 1.
lim+

𝑥→1

𝑥2 + 3
= +∞
𝑥−1

Esto se debe a que:
lim (𝑥 2 + 3) = 4 > 0 ∧ lim+(𝑥 − 1) = 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠𝑥→1+

𝑥→1

De igual manera:
lim−

𝑥→1

𝑥2 + 3
= −∞
𝑥−1

Esto se debe a que:
lim (𝑥 2 + 3) = 4 > 0 ∧ lim−(𝑥 − 1) = 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

𝑥→1−

𝑥→1

En conclusión, 𝑥 = 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙.



Asíntotas horizontales no tiene porque f es una función racional cuyo grado del numerador es
mayor que el del denominador.
Asíntotas oblicuas: 𝑦 = 𝑥 + 1.

Ahora hallemos la primera derivada de 𝑓para, con los puntos críticos, determinar intervalos de
crecimiento y decrecimiento, además los posibles puntos máximos y mínimos.
𝑓 ′ (𝑥) =

(𝑥 − 1)(2𝑥) − (𝑥 2 + 3)(1) 2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥 2 − 3 𝑥 2 − 2𝑥 − 3
=
=
(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)2

Igualemos 𝑓’ a cero para hallar los puntos críticos de primer orden.
𝑥 2 − 2𝑥 − 3
= 0 ⇒ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ⇒ 𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0
(𝑥 − 1)2
⇒ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −1...