3

Propagación de Errores
• Propagación de errores.
• Propagación de errores en sumas y diferencias.
• Propagación de errores en productos.
• Propagación de errores en cocientes.
• Error del producto por una constante.
• Error de una potencia.
• Error en funciones de una variable.
• Error en funciones de varias variables.
• Errores independientes y aleatorios
• Formula general para la propagación deerrores.
9 Medidas independientes.
9 Problema semidirecto.
9 Problema inverso.

Técnicas experimentales de Física General

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Propagación de errores
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los
valores encontrados en las medidas de otras magnitudes.
• Conocemos x ± δx , y ± δy ,...
• Calculamos z = f ( x, y,...)
• ¿Cuál es el error de z?

Propagación de errores.- Conjuntode reglas que permiten
asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas
directas.
• Planificación del experimento.

Hipótesis de partida
• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la
situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas.
• Medidasindependientes.- Errores cuadráticos medios.
Fórmula general de propagación de errores.

Técnicas experimentales de Física General

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Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales:
Sea su suma

y ± δy

x ± δx

q = x + y y su diferencia

q = x− y

¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?

Valor
máximo
de q
Valor
mínimo

Suma

Diferencia

qmax = x + δ x + y + δ y =

qmax = x + δ x − ( y − δ y) =qmin = x − δ x + y − δ y =

qmin = x − δ x − ( y + δ y) =

= x + y + (δ x + δ y )

= x + y − (δ x + δ y )

= x − y + (δ x + δ y )

= x − y − (δ x + δ y )

de q

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas
magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas
magnitudes:

q = x ± y ⇒ δ q ≈ δ x +δ y

Técnicas experimentales de Física General

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Ejemplo:
En un experimentose introducen dos líquidos en un matraz y se
quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1

= 72 ± 1 g

M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
M2 = Masa del matraz 2

= 97 ± 1 g

La masa de líquido será:

M = M 1 − m1 + M 2 − m2 = 1311 g
Su error:

δ M = δ M 1 + δ m1 + δ M 2 + δ m2 = 32 g
El resultado seexpresará:

M = 1310 ± 30 g

Técnicas experimentales de Física General

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Propagación de errores en productos
 δx 
1 ± 
x
±
x
=
x
δ
Datos iniciales:

x 


Sea su producto

 δy 
y ± δy = y1 ± 
y


q = xy

¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?
Producto
Valor
máximo
de q

δ xδ y
x y

qmax

mínimo
de q

 δx  δy ↓
 δx δy
xy
= x 1 +  y 1 +
≅
+

1 +

x
y
x
y

 



δ xδ yValor

x y

qmin

<<

<<

 δ x δ y  
 δx  δy ↓
= x 1 −  y 1 −
 ≅ xy 1 −  +  
x
y
y 

 

  x

El error relativo del producto es igual a la suma de los
errores relativos:
q = xy ⇒

Técnicas experimentales de Física General

δq
q

≈

δx δy
x

+

y

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Propagación de errores en cocientes
 δx 
1 ± 
δ
x
±
x
=
x
Datos iniciales:

x 

x
q
=
Sea su producto
y

δy 
y ± δy = y1 ± 
y


¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?
Cociente

Valor
máximo
de q

qmax

 δx 1
δ xδ y
<<
x 1 +  1−ε =1+ε
x y
x  ↓ x  δ x  δ y  ↓

1+
=
≅
1 + 
 ≅
y 
x 
y
 δy


y 1 −

y 

≅

Valor
mínimo
de q

qmin

x δx δy
+
1 +

y
x
y 

 δx 1
δ xδ y
<<
x 1 −  1+ε =1−ε
x y
x  ↓ x  δ x  δ y  ↓

1−
=
≅
1 − 
 ≅
y 
x 
y
 δy


y 1 +
y 

x  δ x δ y  
≅ 1 −  +  
y   x
y  

El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
x
δq δ x δ y
q=
⇒
≈
+
y
q
x
y

Técnicas experimentales de Física General

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Ejemplo:
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su
sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la
longitud de su sombra, L3. Por semejanza:

L = L1

L2
L3...