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3.2 Transformaciones de funciones: desplazamientos, estiramientos, contracciones y reflexiones.

Introducción
En temas pasados estudiamos las gráficas de las funciones elementales y sus dominios, también construimos la gráfica de una función apoyándonos de la representación tabular, en esta sección bosquejaremos la gráfica de una función utilizando los desplazamientos verticales yhorizontales, los estiramientos, las contracciones y las reflexiones a partir de la gráfica elemental de una función.

Considere la función , ¿Cómo se relaciona la función dada con , , y . Para responder esta pregunta veamos la expresión algebraica de cada función así como sus dominios.


Expresión algebraica
Dominio















Tabla 3.2.1: Sumas y restas de la función

Observe que , tienen el mismodominio que la función y los dominios de la funciones son diferentes.

Ahora nos vamos auxiliar de la representación tabular para poder graficar, esto lo haremos para poder analizar que pasa en cada caso.

x
y




-2
No definida
No definida
No definida
0
No definida
-1
No definida
No definida
No definida
1
No definida
0
0
2
-1

No definida
1
1
3
0

0
2



2
1
3





4
2
2+2=4
2-1=1


Tabla 3.2.1:Representación tabular de las sumas y restas de la función

De la tabla podemos observar lo siguiente:

1. Para obtener a los valores de y le sumamos dos unidades. Esto nos indica que la gráfica de la función es parecida a la gráfica de la función sólo que está desplaza dos unidades hacia arriba.

2. Para obtener a los valores de y le restamos una unidad. Esto nos indica que la gráfica de lafunción es parecida a la gráfica de sólo que está desplazada una unidad hacia abajo.

3. La secuencia de valores de la función es igual a la secuencia de valores de y, sin embargo mientras que la secuencia de valores para y inicia en x=0, la secuencia de valores para inicia en x=-2. Esto nos indica que la gráfica de la función es parecida a la gráfica sólo que esta en lugar de iniciar en ceroinicia en -2, esto es, la gráfica de está desplazada dos unidades hacia la izquierda.

4. La secuencia de valores de la función es igual a la secuencia de valores de y, sin embargo mientras que la secuencia de valores para y inicia cuando x=0, la secuencia de valores para inicia en x=1. Esto nos indica que la gráfica de la función es parecida a la gráfica sólo que esta en lugar de iniciar encero inicia en 1, esto es, la gráfica de está desplazada una unidad hacia la derecha.

Las gráficas de las funciones se muestran en la tabla 3.2.3

y









Tabla 3.2.3: Representación gráfica de las funciones y, , , y
Fig. 3.2.1 Representación gráfica de los desplazamientos de la función

De la tabla 3.2.3 y de la fig. 3.2.1 puede observar que la forma de la gráfica de las funciones es lamisma para todas las funciones sólo cambia la posición de la gráfica, lo anterior puede resumirse en la tabla 3.2.4.

Desplazamientos verticales y horizontales de las gráficas ( Supóngase que c>0 )

Para obtener la
gráfica de:
Se desplaza la gráfica
de

c unidades hacia arriba

c unidades hacia abajo

c unidades hacia la izquierda

c unidades hacia la derecha
Tabla 3.2.4 : Desplazamientosverticales y horizontales

Ahora la pregunta que surge es ¿Cómo se relaciona la función dada con , , y ? Para responder esta nueva pregunta analicemos la expresión algebraica de cada función y sus dominios.


Expresión algebraica
Dominio















Tabla 3.2.5: Multiplicaciones y divisiones de la función

Observe que para este ejemplo particular, el dominio de las funciones es el mismo, estose debe a que 2 por cero y 2 entre cero es cero. Sin embargo es importante que tengas presente que no siempre sucede de esta forma.

Ahora nos vamos auxiliar de la representación tabular para poder graficar y analizar que pasa en cada caso.

x
y




0
0
0
0
0
0
1
1
2



2



2
1
3





4
2
=4
=1


Tabla 3.2.6: Representación tabular de los estiramientos y contracciones de la función

De la...