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Unidad 3 : FUNCIONES VECTORIALES
Tema 3.2 : Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales
(Estudiar la Sección 13.2 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 11)

r
r
r
dr r
r (t + h ) − r(t )
Definición de derivada de una función vectorial:
= r ′(t ) = lim
{
dt
h
h →0
r

r

Representación geométrica de r ′(t ) : gráficamente el vector r ′(t ) representa un

r

vector tangente a lacurva con ecuación vectorial: r (t ) = f (t ) , g (t ) , h(t )

r
r ′(t )
ˆ
Vector tangente unitario: T (t ) = r
r ′(t )
Cálculo de la derivada de una función vectorial:

r
r ′(t ) = f ′(t ) , g ′(t ) ,h′(t ) = f ′(t )iˆ + g ′(t ) ˆj + h′(t )kˆ
Cálculo de la integral de una función vectorial:

r
 b
  b
  b

r (t )dt =  f (t )dt iˆ +  g (t )dt  ˆj +  h(t )dt kˆ
a
 a
  a
  a


∫

b

∫∫

∫

La derivada del vector de posición r(t) siempre es un vector tangente a la curva
y

r’(t)
r(t+h)-r(t)
h
r(t)
r(t+h)
x

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Ejercicios de práctica
E1.- (a) Encuentre la derivada de la funciónvectorial:

r
r (t ) = (1 + t 2 )iˆ + (te − t ) ˆj + (sen 2t )kˆ , y (b) calcule el vector tangente unitario Tˆ (0 )
r

E2.- Para la función vectorial r (t ) = t iˆ + (2 − t ) ˆj : (a) determine lasecuaciones
paramétricas de la curva, (b) la ecuación cartesiana de la curva, (c) dibuje la
r
r
curva, (d) calcule los vectores r (1) y r ′(1) ; y (e) dibújelos sobre la curva
E3.- Determine las ecuacionesparamétricas de la recta tangente a la curva dada
en el punto especificado.

r
r (t ) = t 2 − 1 , t 2 + 1 , t + 1

; P(− 1,1,1)

∫ [(1 + t )iˆ − 4t
2

E4.- Evalúe la integral:

2

3

]

ˆj − (t 2 −1)kˆ dt

1

r

E5.- La función vectorial r (t ) representa un vector de dirección variable, pero de

r

r

magnitud constante, esto es, r (t ) = k . Demuestre que el vector derivada r ′(t )

r

esperpendicular al vector de posición r (t ) .

r

( a =

2

2

a1 + a 2 + a3

E4.- Definir los vectores Normal y Binormal Unitarios:

Tˆ ′
Nˆ (t ) =
Tˆ ′

; Bˆ (t ) = Tˆ (t ) × Nˆ (t )

Nˆ , Bˆ plano...