4_1_Forma_de_Sturm_Liouville

4. STURM-LIOUVILLE

4. EL PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

4.1 EDO DE 2º COMO OPERADORES LINEALES.
4.1.1 CONSIDERACIONES GENERALES
4.1.2 OPERADOR DIFERENCIAL ADJUNTO: IDENTIDAD DE GREEN
4.1.3 FORMA DE STURM-LIOUVILLE
4.2 FUNCIÓN DE GREEN.
4.2.1 LA FUNCIÓN DE GREEN.
4.2.2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE GREEN.
4.2.3 CONSTRUCCIÓN, EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA FUNCIÓN DE GREEN (L DE 2º ORDEN).
4.2.4 FUNCIÓNDE GREEN GENERALIZADA
4.2.5 FUNCIÓN DE GREEN Y PROBLEMAS CON C.C. NO HOMOGÉNEAS.
4.2.6 APÉNDICE: EJEMPLOS
4.3 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE.
4.3.1 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.
4.3.2 DESARROLLO DE LA FUNCIÓNDE GREEN EN SERIE DE AUTOFUNCIONES.
4.3.3 RECOPILACIÓN Y TEOREMA DE LA ALTERNATIVA DE FREDHOLM.
4.4 MÁS SOBRE FUNCIONES DE GREEN (notas provisionales)
Objetivos: Uno de los problemas matemáticosmás extendidos en física es la de encontrar soluciones de
ciertas ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones de contorno referidas a los extremos
de un intervalo (o en la superficie de un volumen). Este problema, conocido como problema de SturmLiouville, en contraste con el de las condiciones iniciales no siempre tiene solución. Aquí analizaré con
detalle las condiciones de existenciay unicidad de las soluciones. Para ello introduciré nuevos conceptos e
ideas: identidad de Green, operador diferencial adjunto, operador diferencial hermítico, ...
que permitirán conocer mejor las operadores diferenciales de segundo orden con coeficientes reales.
Luego introduciré el método de las funciones de Green que transforma el problema diferencial en uno
integral con la esperanza de quesea más fácil, aunque no tiene porqué. Finalmente planteo la ecuación
de Sturm-Liouville y utilizo los resultados previos para obtener una solución del problema. Será vital
además contar con el teorema de operadores hermíticos completamente continuos y los teoremas de
convergencia vistos en el capítulo anterior
¡¡¡ CUIDADO CON LAS ERRATAS !!!

¡¡¡ ESTAS NOTAS NO PUEDEN SUSTITUIR A BUEN LIBRO, NI ELESFUERZO PERSONAL
CONTINUADO PARA ASIMILAR Y APLICAR LAS IDEAS EXPUESTAS !!!

G.NAVASCUÉS

Ultima revisión 08/11/2008

82

4. STURM-LIOUVILLE

4.1 EDO DE 2º COMO OPERADORES LINEALES
4.1.1 CONSIDERACIONES GENERALES
Vimos en el capítulo 1 que si L es un operador diferencial que representa a

L ≡ p n ( x)

d
d n −1
dn
+
(
)
+ ... + p1 ( x) + p 0 ( x) ,
p
x
n −1
n
n −1
dx
dx
dx

[4.1.1]

entonces Les un operador lineal, es decir, si | f > y | g > son vectores que representan a dos
funciones:

L[λ . | f > + µ. | g >] = λL | f > + µL | g >

[4.1.2]

o en lenguaje de las funciones:

⎡
⎤
dn
d n −1
d
p
x
p
x
+
+ ... + p1 ( x) + p 0 ( x)⎥ (λ f ( x) + µ .g ( x)) =
(
)
(
)
n −1
⎢ n
n
n −1
dx
dx
dx
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
dn
d n −1
dn
d n −1
= λ ⎢ p n ( x) n + p n −1 ( x) n −1 + ...⎥ f ( x) + µ ⎢ p n ( x) n + pn −1 ( x) n −1 + ...⎥ g ( x)
dx
dx
dx
dx
⎣
⎦
⎣
⎦

[4.1.3]

.
En adelante el operador L, que representa a una forma diferencial, lo aplicaremos a un espacio restringido
de vectores, que representan a ciertas funciones, este espacio lo llamamos dominio. Así L|f> sólo tendrá
sentido cuando |u>, o la función que representa, pertenezca a ese dominio. Esto es independiente de que
la forma diferencial[4.1.1] que podrá tener sentido aplicada genéricamente a una función cualquiera,
pero ese es otro problema.
Las siguientes definiciones son bastante generales pero nosotros podemos tener en mente que los
operadores diferenciales que nos interesan son los de segundo grado.
4.1.2 OPERADOR DIFERENCIAL ADJUNTO: IDENTIDAD DE GREEN
Dado un operador diferencial L, el operador diferencial L+ se dice que esadjunto de L con peso w(x) en
el intervalo [a,b] si se verifica la igualdad

[

]

w( x) v * ( x) Lu ( x) − u ( x)( L+ v( x)) * =

d
{Q[u, v]}
dx

[4.1.4]

donde u(x) y v(x) son dos funciones suficientemente diferenciables, w(x) una función peso definida
positiva en un intervalo [a,b] y Q una forma bilineal en u, v y sus derivadas:

Q ( x) ≡ A( x)u ( x)v* ( x) + B ( x)u ' ( x)v* ( x) + C ( x)u...