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5.2 Núcleo o imagen de una transformación lineal
Núcleo o kernel de una transformación lineal
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces elnúcleo de la transformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como .

A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por .Imagen o recorrido de una transformación
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T)se lo define como .

A la dimensión de la imagen de T se lo conoce como rango de T y se denota por .

Teorema:
Sea T de V en W una transformación linealentonces:

1. El núcleo de T es un subespacio de V.
Demostración:
1) V es un E.V.








2)


2. El recorrido de T es un subespacio de V.

1)

2)


Re(T) es unsubespacio de V.

Ejercicio:
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

a)





Sea P(x)=ax2+bx+c



Determine el núcleo,el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

b)







Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.c)



Representación matricial
Sea una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x.

Dicha matriz se denomina, matrizde información correspondiente a T o representación matricial de T.
1)
Núcleo de la transformación=núcleo de la matriz asociada



Teorema:
Sea T de Rn en Rm unatransformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:



Ejercicios:
Sea
;determine A(T), Nu(T), Im(T),, .


¿Como resolver el sistema?