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III. APLICACIONES, CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS.
III.1 Variables Discretas y Variables Continuas.
Una Distribución Probabilística es una distribución de probabilidades donde cada una de las cuales está asociada con uno de los posibles valores diferentes de la variable aleatoria.
Las distribuciones probabilísticas se clasifican en Discretas y Continuas, dependiendo de la variablealeatoria, si es discreta o continua.
Una variable aleatoria discreta es aquella que como resultado de las observaciones, se obtienen valores tales como 0, 1, 2, 3, 4…… No puede ser 2.5, 3.6, 6.75 etc.
Una variable aleatoria continua es aquella que como resultado de las observaciones se obtienen valores tales como 2.5, 3.6, 6.75 etc.
Distribución Binomial
Es una distribución de probabilidaddiscreta o sea que sólo puede tomar un número limitado de valores enteros generalmente no negativos; por ejemplo, al lanzar una moneda, ésta puede caer águila o sello, lo cual sucederá si la moneda es legal.
Consideremos un éxito que la moneda muestre sello; el número de éxitos lo representamos con la variable aleatoria discreta x (que sólo puede tomar un número limitado de valores de los resultadosde los experimentos aleatorios), la probabilidad de que muestre sello con p (éxito) y la probabilidad de que muestre águila con q (fracaso). p + q = 1
Lo anterior deberá ajustarse a las características del experimento de Bernoulli:
a) La repetición del experimento n veces, también llamados ensayos.
b) Cada ensayo es independiente de los demás.
c) En cada ensayo existe el éxito (p) o elfracaso (q) como dos únicos resultados.
d) En cada caso la probabilidad no cambia, es constante.
El siguiente es un ejemplo resuelto que explica estas características:
Ejemplo 1.
Una caja contiene tres pelotas azules y cuatro blancas. Al elegir una pelota al azar se toma nota de su color y se regresa a la caja, repitiendo el experimento en esas condiciones seis veces, así sabremos cuántasocasiones sale una pelota azul. Es importante observar las características de Bernoulli:
a) El experimento se va a repetir seis veces; por consiguiente, n = 6.
b) Cada ensayo de extraer la pelota es independiente de los demás, es decir, la probabilidad de éxito es igual en cada extracción.
c) El éxito del experimento sería obtener la pelota azul, y el fracaso conseguir una pelota blanca.
d) Éxito p= 3/7, fracaso q = 4/7 en todas las extracciones (obsérvese que p + q = 1).
Para realizar el cálculo de las probabilidades en esta distribución se utilizará la siguiente fórmula:
2857500895350011430089535002914650895350022860010858500

Donde:
n = número de ensayos
x = número de éxitos
p = probabilidad de éxito
q= probabilidad de fracaso
! = factorial
Por ejemplo: 3! = 3 x 2 x 1 = 6, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Ejemplo 2.
Determine a través de la fórmula de la distribución binomial, la probabilidad en el experimento al lanzar dos veces una moneda, caiga cuando más un águila.
Denominemos a x como el números de éxitos de que caiga cuando más un águila. Cuando más un águila significa que puedecaer un águila o ningún águila o sea que puede ser x= 1, o x = 0.
Al lanzarla dos veces los posibles resultados serían:
S = {(a,a), (a,s), (s,a), (s,s,)}, espacio muestral del lanzamiento de una moneda dos veces, o sea que puede caer (águila, águila), (águila, sello), (sello, águila) y (sello, sello). Como se puede observar de estos 4 posibles resultados sólo en los tres últimos hay cuando másun águila (a lo mucho), por lo que se puede suponer que la probabilidad sea ¾.
Nota: cualquier cantidad elevado a la cero es igual a la unidad: ej. 30=1, (1/2)0=1; < = menor o igual que, > = mayor o igual que, < = menor que, > = mayor que.
n = 2
x < 1
p = ½
q = ½
P(x < 1) = P (x=0) + P (x =1)
251460090805002286000908052
1
002
1...