580784511 continuidad2
Páginas: 17 (4091 palabras)
Publicado: 10 de julio de 2015
Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.1. Introduccio´n
El concepto de l´ımite en Matema´ticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funcio´n en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funcio´n dada por la gra´fica de la figura y fij´emonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nosacercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99),f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funcio´n f(x) cuando nos acercamos a x =2 es 3, lo cu´al expresamos
como:
l´ım f (x)=3
x→2
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funcio´n en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
145
Sin embargo laexpresio´n matematica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funcio´n f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f (x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:
cuando:
l´ım f (x)= L
x→a
Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <
Lo que viene a expresar esta formulacio´n matem´atica es que si x est´a “suficientementecerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pro´xima a L.
En la pra´ctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funcio´n f (x), y se expresa como:
l´ım
x→a+
f (x)
al l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a ytoma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funcio´n f (x) se expresa como:
l´ım
x→a−
f (x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funcio´n f (x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ım f (x) =l´ım
f (x) = l´ım
f (x)
x→a
x→a+
x→a−
9.2. Tipos de l´ımites
Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:
1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situacio´n del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funcio´n se hace cada vez mayor:
l´ım
x→a+
f (x)= +∞
(de igual forma se puededefinir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)
Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinacio´n entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que:
y
l´ım
x→2+
f (x)= +∞
l´ım
x→2−
f(x)=2
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funcio´n tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funcio´n se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
Gr ficamente:
l´ım
x→∞
f (x)= b
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este casocuando si x tiende a +∞ la funcio´n se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gra´fico de este tipo de l´ımites ser´ıa:
En este caso:
l´ım f (x)= −∞
→∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3. C´alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:...
Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.1. Introduccio´n
El concepto de l´ımite en Matema´ticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funcio´n en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funcio´n dada por la gra´fica de la figura y fij´emonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nosacercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99),f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funcio´n f(x) cuando nos acercamos a x =2 es 3, lo cu´al expresamos
como:
l´ım f (x)=3
x→2
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funcio´n en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
145
Sin embargo laexpresio´n matematica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funcio´n f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f (x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como:
cuando:
l´ım f (x)= L
x→a
Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <
Lo que viene a expresar esta formulacio´n matem´atica es que si x est´a “suficientementecerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pro´xima a L.
En la pra´ctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funcio´n f (x), y se expresa como:
l´ım
x→a+
f (x)
al l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a ytoma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funcio´n f (x) se expresa como:
l´ım
x→a−
f (x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funcio´n f (x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ım f (x) =l´ım
f (x) = l´ım
f (x)
x→a
x→a+
x→a−
9.2. Tipos de l´ımites
Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:
1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situacio´n del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funcio´n se hace cada vez mayor:
l´ım
x→a+
f (x)= +∞
(de igual forma se puededefinir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)
Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinacio´n entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que:
y
l´ım
x→2+
f (x)= +∞
l´ım
x→2−
f(x)=2
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funcio´n tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funcio´n se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
Gr ficamente:
l´ım
x→∞
f (x)= b
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este casocuando si x tiende a +∞ la funcio´n se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gra´fico de este tipo de l´ımites ser´ıa:
En este caso:
l´ım f (x)= −∞
→∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3. C´alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.