591448894 Mate


GUIA 7


La transformada de Laplace



1. Concepto de la transformada de Laplace
Definici´on. Una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral R ∞ e−stu(t) dt converge para s > a.

En este caso, la transformada de Laplace de la funci´on u es la funci´on uˆ definida en el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada sest´a dado por
Z ∞
uˆ(s) =
0
e−stu(t) dt. (1)

A veces conviene denotar la transformada de Laplace uˆ de u mediante L {u}. Recu´erdese que la integral impropia R ∞ e−stu(t) dt converge si la integral finita
R B stu(t) dt existe para todo B > 0 y si l´ım
B e−stu(t) dt existe y es finito.
0 e−
Entonces, por definici´on,
Z ∞

0e−stu(t) dt = l´ım
B→∞
B→∞ R


Z B
e−stu(t) dt
0

Ejemplos.
(Funcion constante). La funci´on constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
uˆ(s) = 1
definida en 0 < s < ∞. En efecto,


uˆ(s) =
Z ∞ Z B
e−st dt = l´ım
0 B→∞ 0
e−st dt = l´ım (−
B→∞
e−sB
s
1 1
+ ) = ,
s s
para 0 < s < ∞. Se observa que la integral R ∞ e−st dtdiverge para s ≤ 0.
(Funcion exponencial). La funci´on u(t) = eat tiene transformada de Laplace
uˆ(s) = 1
s−a
definida en a < s < ∞ . En este caso,


uˆ(s) =
Z ∞
e−steat dt =
0
Z e(a−s)t dt = 1
0 s − a


para s > a.

(Funcion tn, n > 0 entero). La funci´on u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada
de Laplace uˆ(s) = n!
definida en 0< s < ∞.
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
L {t} =
Z ∞
t e−st dt = l´ım (−
t e−st ¯t=B
1 Z ∞
) +
e−st dt = 1
0 B→∞ s
¯t=0 s 0 s2

para 0 < s < ∞.
Para n > 1, la integraci´on por partes da
Z ∞ tn
L {tn} =
0
tn e−st dt = l´ım (−
B→∞
st ¯t=B
s ¯t=0
n Z ∞+

tn−1 e−st dt = n

©tn−1ª .
s 0 s L
Y aplicando esto repetidamente, obtenemos

n


n(n − 1)
L {tn} =
L ©tn−1ª =
s
©tn−2 ª
s2
n(n − 1)(n − 2) . . . 1

n!

para 0 < s < ∞.
= · · · =
sn L {1} = sn+1
(Funciones seno y coseno). Se tiene

s a
L {cos at} = s2 + a2 , L {sen at} = s2 + a2
para 0
L {cos a t} =
Z ∞
e−s t cos a t dt =
0

1 e−s tsen a t ¯t=∞
a
s Z ∞
+

e−s tsen a t dt = s L {sen a t} .
(2)
a 0 a

Y volviendo a integrar por partes,
Z ∞ 1
L {sen a t} =
0
e−s t sen a t dt =
a
e−st cos at ¯t=∞
s Z ∞
e−s t cos a t dt = 1 − s L {cos a t} .


Luego
−a a


1 s2
L {sen a t} = a − a2 L {sen a t}
De aqu´ı se obtiene la expresi´on para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´on para
L {cos a t}.
(Funcion de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o salto unitario es la funci´on H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por
½ 0, t < 0
H (t) =
1, t ≥ 0




1





at

Figura 1: Funcion de Heaviside de salto unitario



La funci´on salto unitario en a es la translaci´on H (t − a) de H (v´ease figura 1):
½ 0, t < a
H (t − a) =

Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene
1, t ≥ a





En general

L{H (t − a)} =
Z ∞
e−stdt =
a

Z ∞

e−as
. s
L{H (t − a) u(t − a)} =
a
Z ∞
e−stu(t − a) dt



Es decir,
= e−s(x+a)u(x) dx = e−as L {u} .
0

L{H (t − a) u(t −a)} = e−as L {u} , para a > 0, 0 < s < ∞.
(Una funci´on sin transformada de Laplace). La funci´on u(t) = et2 no tiene trans- formada de Laplace. Pues la integral





diverge para todo s.
Z e−st et2 dt =
0
Z ∞ s2
e− 4
0


e(t− 2 ) dt
¿Para cu´ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos anteriores sugieren el siguiente criterio:

Teorema 1...

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