7 Polinomios

POLINOMIOS

1.1.

DEFINICIONES

Definici´
on 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda
expresi´
on del tipo
p(x) =

∞
∑

ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · ;

ai , x ∈ K; n ∈ N ∪ {0}

i=0

donde todos los coeficientes ai son nulos, excepto una cantidad finita de ellos.

Notaci´
on 1.1.1. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x concoeficientes en K lo denotamos K[x].

Definici´
on 1.1.2. Sea
p(x) =

∞
∑

ai xi ∈ K[x],

i=0

definimos el grado de p(x), denotado ∂(p(x)), como aquel m ∈ N ∪ {0} tal que am es el
u
´ltimo coeficiente no nulo.

Ejemplo 1.1.1.
1. Si p(x) = 2 + 3x − 5x2 entonces ∂(p(x)) = 2.
2. Si p(x) = 2x entonces ∂(p(x)) = 1.
3. Si p(x) = 5 entonces ∂(p(x)) = 0.
4. El polinomio nulo no tiene grado.
Observaci´
on1.1.1.
1. Podemos escribir los polinomios en orden decreciente.
2. Para simplificar la notaci´on podemos escribir ∂(p) en lugar de ∂(p(x)).
1

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1.2.

´ DE POLINOMIOS
SUMA Y MULTIPLICACION

Definici´
on 1.2.1. Sean
p(x) =

∞
∑

i

ai x ,

q(x) =

i=0

∞
∑

bi xi ∈ K[x],

i=0

decimos que p(x) = q(x) si y s´olo si son id´enticos, es decir,p(x) = q(x) ⇔ ai = bi , ∀ i.

Ejemplo 1.2.1. Sean p(x) = (a − b)x4 + (c − 1)x3 + (d + c)x y q(x) = 7x3 + (2d + b)x2 − 2x
dos polinomios definidos en los reales, determine a, b, c, d ∈ R para que p(x) = q(x).
Soluci´
on. Se debe cumplir



a−b=0



c − 1 = 7

d + c = −2



2d + b = 0

es decir, para a = 20, b = 20, c = 8, d = −10.
Definici´
on 1.2.2. Sean
p(x) =

∞
∑

ai x i ,

q(x) =

i=0∞
∑

bi xi ∈ K[x],

i=0

entonces
1. p(x) + q(x) = d(x) =

∞
∑

ci xi tal que ci = ai + bi , ∀ i.

i=0

2. p(x) · q(x) = e(x) =

∞
∑

i

di x tal que di =

i=0

i
∑

ak bi−k .

k=0

Observaci´
on 1.2.1. Se puede demostrar que
a) ∂(p + q) ≤ m´ax {∂(p), ∂(q)} si ∂(p + q) existe.
b) ∂(p · q) = ∂(p) + ∂(q).

Ejemplo
1.2.2. Sean p(x) = 4x3 − 2x2 + 3x, q(x) = 2x2 + 5x − 2 ∈ R[x]. Si p(x) · q(x) =
∑∞r(x) = i=0 di xi , determine d2 .

´
HERALDO GONZALEZ
SERRANO

3

Soluci´
on.
d2 =

2
∑

ak b2−k

k=0

= a0 b2−0 + a1 b2−1 + a2 b2−2
= a0 b2 + a1 b1 + a2 b0
= 0 · 2 + 3 · 5 + (−2) · (−2)
= 19.
Notemos que r(x) = 8x5 + (20 − 4)x4 + (−8 − 10 − 6)x3 + (4 + 15)x2 + (−6)x.
Teorema 1.2.1. Algoritmo de Euclides. Sean p(x), q(x) ∈ R[x], q(x) ̸= 0, entonces
existen s(x), r(x) ∈ R[x], u
´nicos, tal que p(x)= q(x) · s(x) + r(x) donde r(x) = 0 ∨ ∂(r) <
∂(q).
Observaci´
on 1.2.2. Al polinomio s(x) lo llamamos cuociente y al polinomio r(x) lo llamamos resto.
Ejemplo 1.2.3. Sea p(x) = x3 + 2x2 − 3x − 4, q(x) = x − 2 ∈ R[x]. Determine el resto y
el cuociente que se produce al dividir p(x) por q(x).
Soluci´
on.

x3 + 2x2 − 3x − 4 : x − 2 = x2 + 4x + 5
∓x2 ± 2x2
4x2 − 3x − 4
∓4x2 ± 8x
5x − 4
∓5x ± 10
6Hemos obtenido s(x) = x2 +4x+5, r(x) = 6 de donde podemos escribir x3 +2x2 −3x−4 =
(x2 + 4x + 5)(x − 2) + 6 o equivalentemente
x3 + 2x2 − 3x − 4
6
= x2 + 4x + 5 +
x−2
x−2
Observaci´
on 1.2.3. Cuando el polinomio divisor es de la forma x − a podemos efectuar la
divisi´on mediante “divisi´on sint´etica”, m´etodo que mostramos con el desarrollo del mismo
problema anterior, tenemos
1 2 −3 −4 2
2 8 10
1 45
|6
Note que el cuociente es s(x) = x2 + 4x + 5 y el resto es r(x) = 6.

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1.3.

TEOREMA DEL RESTO

Definici´
on 1.3.1. a ∈ R es un cero de p(x) ∈ R[x] o ra´ız de la ecuaci´on p(x) = 0 si y s´olo
si p(a) ≡ 0.
Ejemplo 1.3.1. a = −3 es ra´ız de p(x) = x2 + x − 6 = 0 ya que
p(−3) = (−3)2 + (−3) − 6 ≡ 0.
Teorema 1.3.1. Teorema del resto. Sip(x) ∈ R[x] y a ∈ R entonces el resto que se
produce al dividir p(x) por x − a es p(a).
Demostraci´
on. Por el Algoritmo de Euclides tenemos p(x) = (x − a)s(x) + r(x) donde
r(x) = 0 ´o ∂(r(x)) < ∂(x − a) = 1; esto nos indica que en cualquier caso el resto es una
constante, es decir r(x) = r = cte, as´ı p(x) = (x − a)s(x) + r; es inmediato concluir que
p(a) = (a − a)s(a) + r = r.
Ejemplo 1.3.2. Si...