8_Integrales

8. Integrales
“La trayectoria más
corta entre dos
verdades reales
pasa a través del
dominio complejo."

Jacques Hadamard (1865 – 1963) 1

Integrales definidas (Tipo I):
Sea R(sin , cos ) una función racional que no posee polos
sobre la círcunferencia unidad C: sin2  + cos2  =1
z e i , 0   2 ,
i

dz ie d izd ,
1
d  dz
iz
e i   e  i
cos  
2
e i  e  i
sin  
2i

|z|=12

I  R(sin  , cos  )d
0

1
1

z
z 

1
z,
z dz
I 
R
| z | 1 iz
2i 
 2
1


z
z,
        


2
1
z
 z
2i

f (z)

k

I 2i  Res f ( z )
i 1

z zi

donde {zk} son los polos de f(z)
dentro del círculo unidad.

2

Ejemplo:

i

2

2

0

0

I  R (sin  , cos  )dt 

z e , 0  2 ,

sin 2 
d
5  4 cos 

1
dz ie dt izd , d  dz
iz
i

2

1
1

z
2
z   ( z 2  1) 2
5
z

2
z

2
z 
z 
5  4 cos  5  4
, sin 2  
2
2
z
2
i

4
z







( z 2  1) 2 z
1
1
( z 2  1) 2
I 
dz 
dz 
2
2
2
2

| z| 1  4 z (5 z  2 z  2) iz
 4i | z|1 z (2 z  5 z  2)
k


1
( z 2  1) 2
1
( z 2  1) 2
dz 
2i  Res  2

2

|
z
|

1
z

z
i
 4i
2 z ( z  1 / 2)( z  2)
 4i
i 1
 2 z ( z  1 / 2)( z  2) 

3

2
2


1
( z  1)
I2i  Res  2


z zi 2 z ( z  1 / 2)( z  2)
 4i
i 1


k

2
2




( z  1)
  Res  2


2  z  1/ 2  2 z ( z  1 / 2)( z  2) 
2
2


( z  1)

Res  2

z 0 2 z ( z  1 / 2)( z  2) 


 3 5 
   
Tiene 3 polos, uno doble en z = 0 y
2  4 4 4
dos simples en z = -1/2 y z = -2,

pero este último está fuera del
contorno C (circunferencia de
centro el origen y radio1)

4

Aquí tienes el cálculo explícito de los residuos:

1 d 2
d  ( z 2  1) 2 
Res f ;0  lim
z f ( z ) lim  2


z  0 1! dz
z  0 dz 2 z  5 z  2







(2 z 2  5 z  2)2( z 2  1)2 z  ( z 2  1) 2 (4 z  5)
5


2
2
(2 z  5 z  2)
4
z 0



2



2

1
1
z 1
3


Res f ;   lim  z   f ( z )  lim

2
z   1/ 2 2 z  z  2 
2  z   1/ 2 
2
4


5

Otroejemplo:

d
I 
0 2  cos 


Hallar

La integral no está entre 0 y 2π, pero podemos arreglarlo.
2
d
d

Como el integrando es par: 2 
0 2  cos 
0 2  cos 



1
dz
2
dz
2 I 
   2
1
1  iz
i C z  4 z 1
C 2
z 
2
z
6

Los polos son

z 2  3 y z 2 

2
2 I  2i Res( f;2- 3 )
i

La integral queda:



3

Pero sólo el segundo está
dentro del círculo unidad.



 



Resf;2- 3  lim z  2 - 3 f ( z )
 lim

z  2- 3

z  2- 3

1

 z  (2  3 ) 



1
2 3

2
1  2

2 I  2i 

i
3
 2 3


I
3
7

Otro ejemplo. Calcular:
2

0

1
d
2
( 2  cos )

z
f ( z) 
;
2
2
( z  z0 ) ( z  z1 )

4
z
dz

2
2
i C ( z  4 z  1)
z0  2 

3 , z1  2  3.

z
C ( z 2  4 z  1)2 dz 2 iRes( f ( z ) , z1 )

Solo este polo está
en el círculo unidad.

d
d
z
( z z0 )
1
2
Res( f , z1 ) lim ( z  z1 ) f ( z ) lim
lim 

2
3
z  z1 dz
z  z1 dz ( z  z )
z  z1 ( z  z )
6 3
0
0
2

0

1
4
1
4
d  2i

2
i
6 3 3 3
(2  cos )

8

9

Observa que también funciona el mismo cambio de variable si tenemos
términos del tipo cos(n) y sen(n):

10

11

Integrales impropias:

En cálculo, una integral
impropia es el límite de una
integral definida cuando
R
uno o ambos extremos del
intervalo de integración se
a
R  a
hacen infinitos.
b
b
Pueden definirse en
términos de integrales

R   R
propias (sumas de

R
1
1
Riemann), siempre y
dx

lim
dx

cuando existan estos límites.
1 1 x2
R  1 1  x 2
Cuando el límite existe
lim (arctan R  arctan 1)  / 2   / 4
R 
decimos que la integral
En este caso la integral existe. Pero en los dossiguientes no: converge. Y en caso
contrario, que diverge.

 f ( x)dx lim  f ( x)dx




f ( x)dx  lim  f ( x)dx


1
(log R  log 1)
1 x dx Rlim











 cos xdx lim sin R
0

R1

R 

f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim
R1   0

0



R2    R2

f ( x)dx

12

13

Por ejemplo:



 xdx


es divergente,

puesto que :

R2
lim  xdx  lim

0
R 
R  2
R

Sin embargo:...