9_Separación De Variables

Ecuaciones diferenciales parciales separables

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

étodo de separación de variables
Resolvamos la EDP:

2u
u
4 .
2
y
x

suponiendo que la solución puede factorizarse como:
 

Entonces:

u
X 'Y ,
x

u
 XY ' ,
y

2u
 X "Y ,
2
x

2u
 XY "
2
y

Y la EDP se transforma (a veces) en separable:

X " Y 4 XY ' ,

X" Y'

4X Y

Hemos separado
lasvariables...

X " ( x) Y ' ( y)

4 X ( x) Y ( y)

 Observemos que el lado izq. de la ecuación

solo depende de y que el lado derecho solo
depende de . La igualdad entre las
expresiones solo es posible si ambas son
idénticas a una misma constante. Así que:

X" Y'
  
Constante de
4X Y

separación real

Y• tenemos
tres casos posibles:
 

X "  4 X  0
Y '   Y 0

•Caso
  I: ( = 0)
La solución dees:
La solución de es:

Así la solución de la EDP es:

u( x, y )  X ( x )Y ( y ) ( c1  c2 x )c3  A1  B1 x
con

•Caso
  II: ( = −2)
La solución de es:
o
La solución de es:
Y ( x )  c6 e
De modo que la solución de la EDP es:

2y

.

u( x, y )  XY [c4 cosh( 2x )  c5 sinh( 2x )]c6 e
o

u( x, y )  A2 e

donde

2y

cosh( 2x )  B2 e

2y

sinh( 2x )

2y

•   III: ()
Caso
La soluciónde es:

Y ( y )  c9 e

La solución de es:

 2y

De modo que:
u ( x, y )  A3e
donde

 2y

cos(2x )  B3e

 2y

sin( 2x )

.

 

Principio de superposición

Si son soluciones de una ecuación diferencial
parcial homogénea, entonces al combinación lineal
donde las son constantes, también es una solución.

 

Si el conjunto de soluciones es infinito, la combinación
lineal también serásolución:
 

2
2
2

u

u

u

u

0
kx
,tk
0 x
y

Ecuaciones clásicas:

2

2

u u
c
 2
2
x
t
2

Se conocen como la ecuación unidimensional del calor,
ecuación de ondas unidimensional, y forma bidimensional
de la ecuación de Laplace, respectivamente.

La ecuación de Laplace se abrevia como , donde

 

2
2

u

u
2
u 2 2
x
y

se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres
2
2
2dimensiones el Laplaciano de u es:

u

u

u
2
u 2 2 2
x
y
z

2

u

u
0

x
L
,
t
0
ku(x0x,t)
,
t0f(x)u(0L
,
t)x
0L

Ecuación de calor:

 

es la temperatura en
la posición a tiempo .

Barra delgada de longitud L.

La temperatura se mantiene
siempre a 0 en los extremos.

 

Temperatura inicial a .

Usando y como la constante de separación:
 

X  T 
  
X kT

X  X 0

T  kT0

•Ahora
  las condiciones de frontera se traducen en:
,
.
De donde obtenemos:
X  X 0,

X (0) 0,

X ( L) 0

Problema regular
de Sturm-Liouville

Una EDO con soluciones dependientes de

X ( x ) c1  c2 x,

 0
2

X ( x ) c1 cosh(x )  c2 sinh(x ),

    0

X ( x ) c1 cos(x )  c2 sin(x ),

  2  0

Al aplicar las condiciones de frontera
a los dos primeros casos:

 

X ( x )c1  c2 x,  0
 

 

X ( x ) c1 cosh(x )  c2 sinh(x ),     2  0
 

 

X ( x ) c1 cos(x )  c2 sin(x ),   2  0
 
 

que para
•Tenemos
 

Entonces:
y
y las soluciones correspondientes son:

 n
X ( x ) c2 sin
 L


x , n 1, 2, 3, ...  


Nos falta resolver: T  kT 0

T ( t )  c3 e

 

 k ( n 2 2 / L2 ) t

Y obtenemos finalmente:

un ( x, t )  X ( x )T (t )  An e
 

 k( n 2 2 / L2 ) t

 n
sin
 L


x


Para cada valor de tenemos una solución particular
de la EDP que satisface las condiciones de frontera.
Nos falta aplicar la condición inicial:
 

 n
un ( x, 0)  f ( x )  An sin
 L




n 1

n 1

u ( x, t )  un  An e


x


 k ( n 2 2 / L2 ) t

 n
sin
 L

 n
u ( x, 0)  f ( x )  An sin
 L
n 1


¡Serie de Fourier!

Perodifícilmente podremos
escoger los An para que
cumplan la igualdad...


x


Por el principio de
superposición.


x


2
An 
L

L


0

 n
f ( x ) sin
 L


x dx


2   L
  k ( n2 2 /L2 ) t  n
 n 
u( x, t )     f ( x ) sin 
x d x e
sin 
L n 1  0
 L 
 L



x


Ejemplo. Resuelve:
2

 u u
0  x  ,

,
x 2 t
u(0, t ) 0 ,

u( , t ) 0 ,

t 0
t 0

u( x, 0)...