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Sociedad Matem´tica Peruana
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X Olimpiada Nacional Escolar de Matematica (ONEM 2013)
Cuarta Fase - Nivel 1
17 de noviembre de 2013
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargadode la organizaci´n las felicitaciones
o
por estar participando en la etapa final de la Olimpiada Nacional Escolar de Matem´tica. Te
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recomendamos tener en consideraci´n lo siguiente:
o
- Laprueba tiene una duraci´n m´xima de 4 horas.
o
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- En la primera media hora puedes hacer preguntas, por escrito, en caso tengas alguna duda
acerca de los enunciados de los problemas; luego de esetiempo no se recibir´ m´s preguntas.
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- No est´ permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
a
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entregasolamente el cuadernillo de soluciones.
- Cada problema tiene un valor m´ximo de 25 puntos.
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1. ¿Cu´ntos enteros positivos de 10 d´
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ıgitos cumplen que el producto de sus d´
ıgitos es 120 y lasuma de sus d´
ıgitos es 20?

2. Encuentra todos los posibles enteros positivos a < b < c < d tales que a + b + c + d = 28 y el
conjunto {a + b, a + c, a + d, b + c, b + d, c + d} est´conformado por seis elementos distintos,
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cuatro de los cuales son n´meros primos.
u

3. Decimos que los enteros positivos distintos m y n son enlazados si se cumple que m´s de la
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mitad de losdivisores positivos de m son divisores de n, y m´s de la mitad de los divisores
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positivos de n son divisores de m.
a) Halla todos los enteros positivos n para los cuales n y 100 son enlazados.
b)Demuestra que existe un conjunto de 2013 enteros positivos distintos tales que dos cualesquiera de ellos son enlazados.

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Cuarta Fase - Nivel 1

4. ¿Cu´ntoscaballos del ajedrez se pueden colocar como m´ximo en un tablero de 8 × 8 de tal
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modo que cada caballo amenace a exactamente uno de los otros caballos?
Aclaraci´n: En el ajedrez, un caballo...