variables aleatorias

Probabilidad

Variables Aleatorias

3. VARIABLES ALEATORIAS

L

as variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas, dependiendo del
número de valores que pueden asumir.

Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad finita o
infinita numerable de valores. Si por el contrario, la variable aleatoria puede tomar
cualquier valor de un conjunto infinitono numerable, entonces la variable es
continua.
Desde luego, el análisis de una variable aleatoria discreta difiere del de una
variable aleatoria continua. Esto se expresa a continuación.
3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD.
El comportamiento aleatorio de una variable aleatoria discreta se analiza a
través de una función de probabilidad.
Definición:
Sea X unavariable aleatoria discreta, cuyo rango (conjunto de valores posibles) es
el conjunto que denotamos por RX. Se define la función de probabilidad de X
como:
f X : R X → [0,1]

tal que f X ( x) = P ( X = x) para todo valor x ∈ R X .
Esto es, la función de probabilidad de X es una función que asigna a cada
valor de x del rango de X, la probabilidad de que la variable aleatoria lo asuma en
lasiguiente realización del experimento.
Ejemplo 3.1.1

Supongamos que la variable aleatoria X representa el número de automóviles que
pasan por una caseta de peaje en un período de un día. El rango de la variable
aleatoria es R X = {0,1,2,...} ; es decir, todos los enteros no negativos. Como el
rango es un conjunto infinito numerable, la variable aleatoria X es discreta.
La función de probabilidadde X es la función que determina para cada valor
x, la probabilidad de que ese valor sea el observado; es decir, f X (0) = P ( X = 0) es
la probabilidad de que en un día no pase ningún carro por la caseta mencionada

M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez

UNAM-Facultad de Ingeniería

1

Probabilidad

Variables Aleatorias

f X (1) = P ( X = 1) es la probabilidad de que en un díapase exactamente un
automóvil por la caseta de peaje, etcétera.

3.1.1 PROPIEDADES
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene las
siguientes propiedades:
1) Sus valores están entre 0 y 1
0 ≤ f X ( x) ≤ 1

∀x ∈ R X

2) La suma de los valores de f X(x) cuando se consideran todos los valores
del rango, es igual a uno.

∑f

∀x∈R X

X

( x) = 1

3) Laprobabilidad de que la variable aleatoria presente alguno de los valores
que pertenecen a un conjunto, es la suma de las probabilidades de los
valores particulares.

P ( x0 ≤ x ≤ x1 ) =

x1

∑f

x = x0

X

( x)

Ejemplo 3.1.1.1

Considere el experimento que consiste en lanzar un dado y observar el número de
puntos que tiene en su cara superior.
La variable aleatoria X será el númerode puntos en la cara superior del dado,
después del lanzamiento.
El rango de la variable aleatoria X es RX = {1,2,3,4,5,6}.
La función de probabilidad de X se muestra en la siguiente tabla:
x
fX(x)

1
1/6

M.en I, Isabel Patricia Aguilar Juárez

2
1/6

3
1/6

4
1/6

5
1/6

6
1/6

UNAM-Facultad de Ingeniería

2

Probabilidad

Variables Aleatorias

Es decir,fX(1)=P(X=1) = P(el resultado del lanzamiento es 1) = 1/6
fX(2)=P(X=2) = P(el resultado del lanzamiento es 2) = 1/6
.
La probabilidad de que el resultado esté entre 2 y 5 es:
P(2≤X≤5)

=
=
=
=

P(2 ≤ X ≤ 5) =

P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
fX(2) + fX(3) + fX(4) + fX(5)
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6
4/6

4
6

3.2 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE
PROBABILIDAD.
Porla naturaleza de las variables aleatorias continuas, no es posible hacer su
análisis a través de una función de probabilidad como en el caso discreto, pero en
su lugar se utiliza otra función conocida como función de probabilidad o
simplemente de densidad.
Definición:
Si X es una variable aleatoria continua cuyos valores posibles son todos los
números que pertenecen al conjunto RX, se...