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FUNCIÓN CUADRÁTICA

SITUACION INTRODUCTORIA
Los ingresos mensuales de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por la función:
, donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes.
2) Observen el gráfico y respondan:

a) ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?
b) Si decimos que la ganancia fue de mil pesos aproximadamente,¿cuántas máquinas se fabricaron?
c) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican cinco máquinas?
d) ¿A partir de qué cantidad máquinas se comienza a tener pérdidas?

DEFINICION

A toda función de la forma

y = f (x) = a x2 + b x + c , con a , b , c  R y a  0

se la llama función cuadrática.

En la expresión anterior a x2 es el término cuadrático, b x es el término linealy c el término independiente.
El dominio de la función es R y su gráfica es una curva llamada parábola.



Analicemos los gráficos de algunas funciones cuadráticas cuando varía el coeficiente de x2 :


a1 > a2 > 0 a1 < 0 y a2 < 0
a1 > a2

Comparando los gráficos podemos observar que:
El signo de a indica hacia dondese dirigen las ramas:
si a es positivo, las ramas van hacia arriba,
si a es negativo, las ramas van hacia abajo;

El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas:
cuanto menor es a, la parábola es más abierta,
cuanto mayor es a, la parábola es más cerrada.

Ejercicio 1 : Representar en un mismo sistema de coordenadas las gráficas de: y = 2 x2 ; y = x2; y = -2 x2 ; y = -x2 y visualizar la información anterior.

Tomemos la función y = x2 cuya gráfica es simétrica respecto del eje y.



Si desplazamos el gráfico de y = x2 en forma vertical u horizontal, obtenemos las gráficas de otras funciones cuadráticas.


Ejemplo:

Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica dela función y = x2 + 2.
Si trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función y = x2 - 1.


Observemos que estos desplazamientos no modifican el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.
Ejemplo:

Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia la derecha, obtenemos la gráfica de la funcióny = ( x - 2 )2 .
Si trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia la izquierda, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 1 )2 .



Estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la abscisa del vértice, pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función.


Calculo del vértice y de las raices de una parabola

Cuando y = 0 , resulta la ecuación a x2 + b x + c =0 cuyas raíces se obtienen como ya hemos visto aplicando la fórmula: x1,2 = . Las mismas representan los puntos de intersección de la parábola con el eje x.

Según que la ecuación tenga dos raíces reales, una o ninguna, la parábola cortará al eje x, será tangente a él, o quedará toda ella por encima o por debajo del eje.



Dos raíces reales Una raíz real doble Ninguna raíz realCuando la parábola tiene raíces reales, las mismas equidistan del eje de simetría. Luego podemos obtener la abscisa del vértice de la parábola haciendo: xV = y la ordenada de dicho vértice, yV reemplazando xV en la ecuación de la función cuadrática.

Otra forma de obtener la abscisa del vértice es aprovechar el hecho de que si en la fórmula xV = reemplazamos x1 yx2 por las expresiones de la fórmula
x1,2 = , obtenemos xV = .

Al aplicar xV = , podemos obtener xV , independientemente del tipo de raíces.
DISCRIMINANTE
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0 tiene dos raíces reales y distintas
b2 − 4ac = 0 tiene dos...