Abcd

´
APENDICE A

Algebra matricial
El estudio de la econometr´ requiere cierta familiaridad con el algebra matricial.
ıa
´
La teor´ de matrices simplifica la descripci´n, desarrollo y aplicaci´n de los m´todos
ıa
o
o
e
econom´tricos. En este cap´
e
ıtulo, se resumen algunos conceptos fundamentales del algebra
´
matricial que se usar´n a lo largo del curso.
a

A.1.

Matrices

´Definicion 103. Una matriz A de orden m × n es un conjunto de elementos aij
(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) dispuestos en m filas y n columnas


a11 a12 . . . a1n


 a21 a22 . . . a2n 
A= .
.
.
.
.
.
.
.
...
.
am1 am2 . . .

amn

Las matrices se representan por letras may´sculas en negrita, A. El elemento de la
u
fila i-´sima y de la columna j -´sima serepresenta por una letra min´scula con un par
e
e
u
ı,
de sub´
ındices, aij . De aqu´ un modo abreviado de escribir una matriz es A = [aij ] para
i = 1, 2 . . . , m y j = 1, 2 . . . , n. El orden o dimensi´n de la matriz m × n nos indica el
o
n´mero de filas y de columnas. La matriz A se denomina cuadrada cuando m = n y
u
rectangular si m �= n.
Los elementos de una matriz pueden ser n´merosde cualquier clase. Se consideran
u
aqu´ matrices de n´meros reales, aij ∈ .
ı
u
Ejemplo 28. La matriz



6574


A = 5 4 2 5
1 1 11 1

es una matriz rectangular de orden 3 × 4; el elemento de la fila 3 y columna 3 es 11.

A�
A

´
Definicion 104. La traspuesta de la matriz A = [aij ] de orden m × n es una matriz
= [aji ] de orden n × m cuyas filas (columnas) son lascolumnas (filas) de la matriz


a11

 a12
A� =  .
.
.

a21
a22
.
.
.

a1n a2n
191

...
...
...
...


am1

am2 
.
.
.

amn

192

A.2. Vectores

Ejemplo 29. La traspuesta de la matriz

6
5

A� = 
7
4
A.2.

A del ejemplo 1 es

51
4 1


2 11
5

1

Vectores

´
Definicion 105. Un vector columna es una matriz de orden m × 1,es decir, una
matriz que s´lo tiene una columna
o

a1

 a2 
a= . 
.
.
am

Un vector columna se denota por una letra min´scula en negrilla y se escribe de
u
forma abreviada como a = [ai ]. Cada elemento del vector tiene un sub´
ındice que indica
la posici´n en la columna.
o
Un vector fila es una matriz de orden 1 × m, es decir, una matriz que s´lo tiene una
o
fila
�a� = a1 a2 . . . am

La traspuesta de un vector columna a = (a1 a2 . . . am )� es un vector fila a� = (a1 a2 . . . am ).
Observe que la notaci´n (a1 a2 . . . am )� indica la traspuesta un vector fila (que es un veco
tor columna) y se usa para escribir un vector columna en una l´
ınea de texto.
´
Definicion 106. Sean a = (a1 , . . . , am )� y b = (b1 , . . . , bm )� dos vectores columna
delmismo orden m × 1, su producto escalar se define como
m

a� b = b� a = a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm =

ai bi
i=1

que es la suma de los productos de cada elemento de a por el correspondiente elemento
de b.
´
Definicion 107. La norma de un vector x se define como
√
x = x� x
siendo el vector normalizado x/ x .
´
Definicion 108. Dos vectores a = (a1 , . . . , am )� y b = (b1 , . . . , bm)� son ortogonales,
a⊥b, si su producto escalar es cero
m

�

�

a b = b a = a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm =

ai bi = 0
i=1

Ejercicio 11. Sea i = (1 1 . . . 1)� un vector m × 1 de unos. Calcule el producto
escalar i� i.
Ejercicio 12. Sean i = (1, . . . , 1)� e y = (y1 , . . . , ym )� de orden m × 1. Calcule el
producto escalar i� y.
Prof. Dr. Jos´ Luis Gallego G´mez
e
oDepartamento de Econom´ Universidad de Cantabria
ıa.

Apuntes de Econometr´ LADE y LE. Curso 2008-2009.
ıa.
Material publicado bajo licencia Creative Commons

193

A. Algebra matricial

Ejercicio 13. Demuestre que la media de las observaciones y1 , . . . , ym puede expresarse como i� y/i� i.
A.3.

Operaciones b´sicas con matrices
a

1. Igualdad de matrices Dos matrices A = [aij ] y...