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CAPITULO 3
EL METODO DE ESTIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
ORIDINARIOS:
MODELO LINEAL GENERAL

3.1. INTRODUCCIÓN
En la investigación aplicada buscamos darle contenido empírico a las relaciones que nos
sugiere la teoría y la intuición. En muchos casos lo que buscamos es determinar cuáles son las
principales variables que explican a otra variable a la cual le hemos dado el nombre de variabledependiente. En el Capítulo precedente se ha limitado el análisis de regresión al estudio de las
relaciones existentes entre una variable endógena o explicada (Y) y una variable exógena o
explicativa (X). Para tal fin, realizamos la estimación de los parámetros desconocidos del
modelo de regresión bivariado y posteriormente demostramos sus propiedades por lo que
concluimos que el estimador MCO es MELI. Enel presente Capítulo, Vamos a generalizar el
análisis previo incluyendo más de una variable explicativa (aparte del intercepto) utilizaremos el
mismo criterio de minimización (MCO) y presentaremos el modelo de regresión lineal de k
variables (Y y X1, X2,..., Xk) en notación matricial. Este modelo es conocido como el modelo de
regresión lineal general, pues en él se generaliza el modelo deregresión bivariado estudiado en
el Capítulo 2.
Cabe mencionar que para que el lector pueda comprender con facilidad los conceptos que se
estudiarán a continuación debe recordar algunos conceptos de álgebra matricial. En este modelo
la función de regresión poblacional, definida en el Capítulo 1, está compuesta por la variable
endógena (Y) y k variables exógenas (X). Formalmente:

Yi = β1 X 1i + β 2 X 2i +β 3 X 3i + ... + β k X ki + µ i

i = 1,2,......n

(3.1)

La ecuación (3.1) indica que el vector Y observado es la suma del vector de errores (µ ) y de
una combinación lineal de las columnas de X. Nótese que ahora se tienen k pendientes

Econometría Moderna

MCO: El Modelo Lineal General

( β1 ,.....β k ) y µi el término de error correspondiente a la i-ésima observación. Por otro lado, la
inclusiónde un intercepto en el modelo hace que X1 represente un vector de unos, si
reemplazamos éste en la expresión (3.1) se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

Y1 = β1 + β 2 X 21 + β 3 X 31 + ... + β k X k1 + µ1
Y2 = β1 + β 2 X 22 + β 3 X 32 + ... + β k X k 2 + µ 2
..........................................................................

Yn = β1 + β 2 X 2 n + β 3 X 3n + ... + β k X kn + µn
En términos matriciales:
Y1 
Y 
 2 =
. 
 
Yn 
(nx1)

1 X 2 ,1
1 ...

1 ...

1 X 2 ,n

... X k,1 
...
... 
.
...
... 

... X k ,n 

 β1 
 µ1 
β 
 
 2 +  . 
 . 
 .
 
 
µ n 
β k 

(nxk)

(kx1)

(nx1)

Y = Xβ + µ

y en forma compacta:

(3.2)

3.2. LA ESTIMACIÓN MCO PARA EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL
Con el fin de estimar los coeficientes delmodelo de regresión y el intercepto, debemos reescribir la ecuación (3.1) de modo que para la observación i tendríamos un valor observado de
Y y un valor estimado de la forma:
ˆ = βˆ + βˆ X + ... + βˆ X
Y
i
1
2 2i
k ki

Recordemos que la diferencia entre el valor estimado o predicho por el investigador y el
valor observado de la variable endógena resulta un residuo o término de error (e):
ˆ −β
ˆ X −.. − β
ˆ X
ei = Yi − β
1
2 2i
k kt
y, repitiendo este proceso para todas las observaciones muestrales se obtiene:
Y = βˆ 1 + βˆ 2 X 2 + ... + βˆ k X k + e = Xβˆ + e

(3.3)

En la ecuación anterior, βˆ es un vector de coeficientes de k elementos, e es otro vector de
residuos de n elementos y X representa la matriz de variables explicativas de orden (nxk).
Como se mencionó en la introducción delpresente capítulo, utilizaremos el criterio del
método de estimación MCO para obtener los estimadores: minimizar la suma de cuadrados de
los residuos (SRC = ∑ ei2 ). Se denota matricialmente como e′e :

e′e = [e1 e2

 e1 
e 
..... en ]. 2  = e12 + e22 + ... + en2 = ∑ ei2
 .
 
e n 
52

Econometría Moderna

MCO: El Modelo Lineal General

Por la ecuación (3.3), se tiene que:
e′e = ( Y -...