ajuste de curvas

AJUSTE DE CURVAS
Cálculo Numérico
Ing. Frednides Guillén Guerra
Maracay - Venezuela

Ajuste de Curvas
• Consiste en determinar los parámetros de un
modelo y=f(x) que se ajuste mejor a los datos
(x1,y1), ... , (xN,yN) que están sujetos a errores
aleatorios producidos por incertidumbres en las
mediciones, y por un deficiente control de las
condiciones en el que se realiza unexperimento.

Ajuste de Curvas
• Cuando se consideran datos que están sujetos a errores
aleatorios, se emplea:

EL MÉTODO DE LOS
MÍNIMOS CUADRADOS

Ajuste de Curvas
• A partir del método de los mínimos cuadrados se
obtienen las Ecuaciones de Regresión y tienen varias
aplicaciones:
– Descripción y construcción de modelos
– Predicción y estimación
– Estimación de parámetros
– ControlRecta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo:
A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes
pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproximada:
12

yk

10

-1 10

8

xk
0

9

1

7

2

5

y=Ax+B

6

y

4
2

3

4

4

3

0

5

0

-2

6

-1

-4

-2

-1

01

2

x

3

4

5

6

7

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados

• La recta de regresión consiste en el análisis de
regresión simple del método de los mínimos
cuadrados:
– Lo que se desea es encontrar una ecuación simple
que aproxime lo mejor posible los puntos de
estudio
– La recta o cualquier otra función elegida para
aproximar los datos es llamada modelo

Rectade Regresión de Mínimos Cuadrados
• La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados
consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la
recta:

y = f(x) = Ax + B
• Que minimiza el error cuadrático medio E2(f)
 1
E2 ( f ) = 
N

N

∑

k=1

f ( xk ) − y k

2





1/ 2

(1)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• El error medio cuadrático estádado por la siguiente
ecuación:
1/ 2
N
 1
2
E 2 ( f ) =  ∑ f ( xk ) − y k 
(1)
 N k=1

• El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera
la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar
porque no es tan complejo de minimizar
computacionalmente.

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Sea un conjunto de N puntos (xk , yk) donde k=1 hasta N,
cuyasabscisas {xk} son todas distintas, la recta de regresión
o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de
ecuación y = f (x) = Ax+B que minimiza el error medio
cuadrático E2(f).
• El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente
expresión es mínima:
N ⋅ ( E2 ( f ) ) =
2

N

∑

k=1

f ( xk ) − y k

2

(2)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Si sustituimos en laecuación anterior la ecuación de la
recta, entonces:
E ( A, B ) =

N

∑ ( Axk +
k= 1

B − yk )

2

(3)

• El valor mínimo de la función E(A,B) se calcula igualando a
cero sus derivadas parciales:
∂ E ( A, B )
= 0
∂A
∂ E ( A, B )
= 0
∂B

(4)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Desarrollando el cálculo, tenemos:
∂ E ( A, B )
=
∂A
∂ E ( A, B )
=
∂B

N

∑k= 1

N

k= 1

N

∑ 2( Ax
k= 1

(

2
2( Axk + B − yk )( xk ) = 2∑ Axk + Bxk − yk xk

)

N

k

+ B − yk ) = 2∑ ( Axk + B − yk )
k= 1

• Luego:

∑ ( Ax
N

k= 1

2
k

N

∑ ( Ax
k= 1

)

N

2
+ Bxk − yk xk = A∑ xk + B ∑ ( xk ) −
k=1

N

k

( )

N

k= 1

+ B − yk ) = A∑ ( xk ) + N ⋅ B −
k=1

N

N

∑ ( x y ) = 0,
k=1

∑ (y ) = 0
k=1k

k

k

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Despejando:
N

( )

N

A∑ x + B ∑ ( xk ) =
k= 1

2
k

N

k=1

A∑ ( xk ) + N ⋅ B =
k= 1

N

∑ ( x y ),
k=1
N

k

∑ (y )
k=1

k

(5)

k

• A este sistema de ecuaciones se le conoce como:

ECUACIONES NORMALES DE GAUSS

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Ejemplo: A partir de un ensayo...