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Polinomio de Taylor

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Polinomios de Taylor
La aproximación de la recta tangente L(x) es
la mejor aproximación de primer grado
(lineal) a f(x), cerca de a. Para tener una
aproximación mejor, que una lineal,
intentemos una aproximación de segundo
grado (cuadrática) P(x). En otras palabras,
aproximemos una curva mediante una
parábola en lugar de por una recta.
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Para tener laseguridad de que la aproximación es
buena, estipulemos lo siguiente:

1) P(a) = f(a)
2) P’(a) = f’(a)
3) P’’(a) = f’’(a)

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Para obtener una aproximación de una función
mediante una función cuadrática P cerca de un
número a, lo mejor es escribir P en la forma:

P(x) = A + B(x-a) + C(x-a)2
Veamos que la función cuadrática que satisface las
condiciones 1), 2) y 3) es

P(x) = f(a) +f’(a)(x-a) + f’ ’ (a) (x-a)2
2
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Buscaremos A, B y C utilizando la relación entre
f(x), P(x) y sus derivadas en x=a

Como f(a)=P(a), reemplazando en P(x) nos queda:
f(a)=P(a)=A.
Por otro lado, como f´(a)=P’(a), derivamos P(x) y
evaluamos:
P’(x)=B +2 C (x-a), luego: f´(a)=P’(a)=B
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Falta hallar la expresión del coeficiente C:
Usamos que f´’(a)=P’’(a), luego:

P’’(x)=2 C , por locual: f´’(a)=P’’(a)=2 C
C=f’’(a)/2
Reemplazando A, B y C en la expresión de P(x) :
P(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’ ’ (a) (x-a)2
2
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En lugar de quedarnos conformes con una
aproximación lineal o una cuadrática para f(x), cerca
de x = a, intentemos hallar mejores aproximaciones,
con polinomios de grado más alto.
Busquemos un polinomio de n-ésimo grado:
Tn ( x)  c0  c1 ( x  a)  c2 ( x a) 2  c3 ( x  a) 3  ...  cn ( x  a) n

tal que Tn y sus n primeras derivadas tengan los
mismos valores en x = a como f y sus n primeras
derivadas.
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Derivando y evaluando en x = a se satisfacen las
condiciones:
c0 = f(a), c1 = f ’(a), c2 = ½ f ’’(a), y, en general,

ck 

f

(k )

(a)
k!

donde k! = 1.2.3.4...k
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El polinomio resultante
f ' ' (a)
f ( n ) (a)
2Tn ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a) 
( x  a)  ...
( x  a) n
2!
n!

se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado,
de f, con centro en a.

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Teorema de Cauchy
Si f y g son continuas en un intervalo cerrado [a; b] y
derivables en el intervalo abierto (a; b), existe c ε (a; b)
tal que:
(f(b) – f(a)).g’(c) = (g(b) – g(a)).f’(c)
Si, además, g´(x) ≠ 0 para todo x ε (a; b), entonces:f (b)  f (a) f ' (c)

g (b)  g (a) g ' (c)
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Demostración del Teorema de Cauchy
Consideremos la función:
h(x) = (f(b) - f(a))(g(x) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(x) – f(a))
La función h es continua en [a; b] y derivable en (a; b)
por ser producto y resta de funciones de ese tipo.
Además:
h(b) = (f(b) - f(a))(g(b) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(b) – f(a)) = 0
h(a) = (f(b) - f(a))(g(a) -g(a)) - (g(b) - g(a))(f(a) – f(a)) = 0
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Entonces h satisface las condiciones del Teorema de
Rolle, por lo tanto existe c ε (a; b) tal que h´(c) = 0.
Pero,
h´(x) = (f(b) - f(a))g´(x) - (g(b) - g(a))f´(x)
luego es:
0 = h´(c) = (f(b) - f(a))g´(c) - (g(b) - g(a))f´(c)

que es lo que queríamos demostrar.
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REGLA DE L'HÔPITAL

Vamos a ver ahora una consecuencia del Teorema
deCauchy que resulta de mucha utilidad en el
cálculo de límites.

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REGLA DE L'HÔPITAL (Caso 0/0)
Sean f y g funciones definidas y derivables en un
intervalo (a;b). Para x0 ε (a;b), supongamos g’(x)≠0
para x ε (a;b), x ≠ x0 y f(x0) = g(x0) = 0. En esas
condiciones, si existe
f ´(x)
lim
x  x0 g´(x)

(límite finito), entonces existe
y además:

f ( x)
lim
x  x0 g ( x)

f ( x) limf ´(x)
lim
x  x
x  x0 g ( x)
0 g´(x)

Demostrar 14

Demostración
Como existe

f ´(x)
lim
 l 
x  x0 g´(x)

Esto garantiza que g’(x)  0 en un entorno de x0.
Aplicando el teorema de Cauchy en [x0,x] (ya que
estamos bajo las condiciones del teorema, es
decir, f y g son derivables en el intervalo abierto
(x0; x), y continuas en el intervalo cerrado [x0; x])
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f...