alegebra lineal

1) Dedición de vector
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional o bidimensional).
Un vector fijo del plano elucídelo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:
módulo: Es la longitud o tamaño delvector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige elvector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
2) Propiedades del espacio vectorial
Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementosdel conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
3) Combinación lineal de vectores
Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si sepuede expresar como suma de los vectores de  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de  .
Ejemplo:
El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):



4) Que son vectoreslinealmente independientes y linealmente dependiente. Explique y de ejemplos.
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son literalmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con la combinación lineal de los restantes

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Determinarsi son linealmente dependientes o independientes los vectores:
 = (3, 1) y  = (2, 3)

Linealmente independientes.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay unas combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1 Si variosvectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vector escombinación lineal de otros, entonces todos losvectores son linealmente dependientes.
2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  =(v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.



5) Defina producto cruz y sus propiedades de ejemplo de producto cruz (ejercicio modelo).
El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lotanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.
Propiedades:
Cualesquiera que sean los vectores  ,  y :
, (anticonmutatividad)
 , cancelación por...