Algebra de Boole

Capítulo 4

Álgebra Booleana

è Álgebra Booleana
÷ La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.

Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en
dispositivos de conmutación (interruptores,relevadores, transistores, etc). En este capítulo se
presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los
resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas
(lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas
de verdad y diagramas de Venn.

4.1.- POSTULADOSDEL ÁLGEBRA BOOLEANA
El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su
artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de
conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los
circuitos de conmutación y relés" hasta 1938. A continuación sepresentan los postulados fundamentales
del álgebra de Boole
POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

O

Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto
B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones
denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" (†), las
cuales cumplen conlas siguientes propiedades:
Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x

(b) x. 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x

(b) x†y =y†x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) =(x + y) + z

(b) x†(y†z) = (x†y) †z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y†z)=(x+y) † (x+z)

(b) x†(y+z)=(x†y)+(x†z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x = 1

(b) x † x = O

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Capítulo 4

Álgebra Booleana

4.2.- EJEMPLOS DEÁLGEBRAS DE BOOLE
En un principio algunos de los postulados anteriores pueden parecer extraños, especialmente aquellos
que son diferentes al álgebra con número reales (como el 5a, el 6a y el 6b), y puede ser difícil encontrar
situaciones de interés que cumplan al pie de la letra con cada uno de ellos, sin embargo, existen varios
ejemplos, de los cuales se presentan los siguientes tres clásicos, enlos cuales se verifica que se trata de
álgebras de Boole, es decir, que se cumple postulado por postulado.
4.2.1.- ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la
unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección (∩) de conjuntos.
2.- Existencia de neutros. El neutro de la unión es el conjunto vacío Φ ,mientras que el neutro de la
intersección es el conjunto universo U ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U Φ = A y A ∩ U
,
= A.
3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de
conjuntos A, B: A U B = B U A y A ∩B = B ∩A
4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera
tres conjuntos A, B, C:A U (B U C) = (A U B) U C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y viceversa, la
intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B ∩
C) = (A U B) ∩ (A U C) y A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple con las...