Algebra De Boole

Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole.

T3-1

TEMA 3. Álgebra de Boole
INDICE: • EL ÁLGEBRA DE BOOBLE • TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE • REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS o TABLA DE VERDAD o FORMAS CANÓNICAS o CONVERSIÓN DE UNA FORMAS A OTRAS • FUNCIONES BASICAS.
• IMPLEMENTACIÓN MEDIANTE CONJUNTOS

COMPLETOS

Boole (1815-1864)

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T3-2

EL ÁLGEBRA DE BOOBLE
UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 1 A·B 0 0 0 1 A 0 1 A’ 1 0

OPERADOR + OPERADOR · OPERADOR ‘

OPERADOR OR OPERADOR AND OPERADOR NOT

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES: 1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA: A+B=B+A A·B=B·A 2.PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A·(B+C) = A·B + A·C A + B·C = (A+B)·(A+C) 3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES A+0=A A·1=A 4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’ A + A’ = 1 A · A’ = 0 PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.

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T3-3

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único. TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1 A·0 = 0 TEOREMA 3: cada elementoidentidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0 TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A·A=A TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica: A+A·B=A A·(A+B)=A TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’·B = A + B A · (A’ + B) = A · B TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD):cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C A·(B·C) = (A·B)·C LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica: (A+B)’ = A’·B’ (A·B)’ = A’ + B’

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T3-4

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS (I)
TABLA DE VERDAD Tabla que representa el valor de la función para cada combinaciónde entrada. Si la función está definida para todas las combinaciones se llama completa, si no, se denomina incompleta. Para 4 variables: X3
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

X2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

X1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

X0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

F(X3, X2, X1,X0) F(0,0,0,0) F(0,0,0,1) F(0,0,1,0) F(0,0,1,1) F(0,1,0,0)F(0,1,0,1) F(0,1,1,0) F(0,1,1,1) F(1,0,0,0) F(1,0,0,1) F(1,0,1,0) F(1,0,1,1) F(1,1,0,0) F(1,1,0,1) F(1,1,1,0) F(1,1,1,1)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Una Fórmulas de conmutación es la expresión de una función Lógica. Un LITERAL es una variable (A) o complemento de una variable (A’) Un TÉRMINO PRODUCTO es una operación AND de un número de literales. Una fórmula normal disyuntiva es una sumade términos productos. Un TÉRMINO SUMA es una operación OR de un número de literales. Una fórmula normal conjuntiva es un producto de términos sumas.

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T3-5

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS (II)
FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA (SOP) MINTÉRMINO (mi): término producto en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sincomplementar. FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA O DE MINTÉRMINOS: suma de mintérminos. (Suma de Productos) Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1’s y 0’s arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, mintérmino que toma el valor 1. Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de Verdad. La fórmula compuesta por todos los mintérminos será...