Algebra de Boole

Páginas: 14 (3453 palabras) Publicado: 28 de octubre de 2013
TEMA 4:
ÁLGEBRA DE BOOLE

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011
Dpto. de Ing. Eléctrica, Electrónica y Automática.
Universidad de Castilla – La Mancha

Álgebra de Boole

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

ÁLGEBRA DE BOOLE
El álgebra de Boole, cuyo nombre se debe al matemático inglés George Boole, fue introducida por éste ("An
Investigation of the Laws of Thought",Londres, 1854) con el fin de proporcionar un método simbólico para
analizar la lógica humana. Casi un siglo después (1938) Claude E. Shannon propuso ("A Symbolic Analysis of
Relay and Switching Circuits") el álgebra de Boole bivalente o de conmutación, como aparato matemático para
el estudio de los circuitos eléctricos de conmutación (circuitos eléctricos con dos estados posibles). Hace pues,más de setenta años que se sentaron las bases matemáticas para el análisis lógico de los circuitos básicos
constructivos de las modernas máquinas digitales.
En este capítulo nos proponemos el estudio del álgebra de Boole, particularizando al álgebra de Boole
bivalente, como una herramienta matemática que después utilizaremos en el análisis y síntesis de circuitos
digitales.

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Álgebra deBoole

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE
Una estructura algebraica (B,+,·), formada por un conjunto B y dos operaciones definidas sobre B que
denominaremos + y ·, se dice que es un álgebra de Boole si, y solo si, cumple los siguientes axiomas:
El conjunto B es cerrado con respecto a las dos operaciones.
Para todo X e Y pertenecientes a B, X+Y yX·Y también pertenecen a B.
Existencia de elemento identidad para las dos operaciones.
Existen en B dos elementos distintos 0 y 1 tal que, para todo X perteneciente a B, se cumple que:
X+0=X

y

X·1=X

Las dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa.
Para todo X e Y pertenecientes a B se cumple que:
X+Y=Y+X

y

X·Y=Y·X

Cada operación es distributiva con respecto a la otra.Para todo X, Y, Z pertenecientes a B se cumple que:
X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

y

X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)

Existencia del elemento complementario.
Para todo X perteneciente a B existe otro elemento de B, que llamaremos complementario de X y
denotaremos por X', tal que:
X + X'= 1

y

X · X'= 0

Estos axiomas se conocen como postulados de Huntington para el álgebra deBoole.
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Álgebra de Boole

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
De los axiomas anteriores se derivan una serie de propiedades para el álgebra de Boole que son útiles en el
tratamiento de las expresiones algebraicas booleanas.
Principio de dualidad: Sea G una igualdad entre dos expresiones booleanas y GD otra igualdad obtenida a
partir de Gintercambiando los operadores (+ y ·) y los elementos de identidad (0 y 1). Si G es una identidad
(igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables que contiene su expresión), la igualdad GD
(llamada dual de G) también lo es.
Para todo X perteneciente a B se verifica que:
X+1=1

y

X·0=0

Ley de idempotencia: Para todo X perteneciente a B se verifica que:
X+X=X

y

X·X=XLey de involución: Para todo X perteneciente a B se verifica que:
(X')'=X
Ley de absorción: Para todo X e Y pertenecientes a B se verifica que:
X+X·Y=X

y

X · (X + Y) = X

Propiedad asociativa: Para todo X, Y, Z pertenecientes a B se verifica que:
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

y

X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

Leyes de De Morgan: Para todo X1, X2, …, Xn pertenecientes a B se verificaque:
(X1 + X2 + … + Xn)' = X1' · X2' · … ·Xn'

y

(X1 · X2 · … · Xn)' = X1' + X2' + … + Xn'

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Álgebra de Boole

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

ÁLGEBRA DE BOOLE BIVALENTE O DE CONMUTACIÓN
Se pueden definir muchas álgebras de Boole dependiendo de cual sea el conjunto B y de cómo se definan los
operadores + y ·
Definiremos aquí la llamada álgebra de Boole bivalente...
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