Algebra de conmutación

 Álgebra de conmutación
Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos de conmutación. Un conmutador es un dispositivo con dos estados que son cerrado y abierto y que se denotarán respectivamente 1 y 0. En esta forma, un álgebra de circuitos de conmutación no es más que un álgebra booleana con dos elementos a saber: 0 y 1.
Un circuito consistente de los conmutadores xe y. Donde, si están conectados en paralelo se designará por x + y, si los conmutadores están conectados en serie se designarán por xy. Para cada circuito serie paralelo corresponderá una expresión algebraica y viceversa, tales expresiones involucran las operaciones (+), (.), (´).
Gráficamente ocurre entonces lo siguiente:

Se dice que dos circuitos de conmutadores son equivalentes si paracualquier posición de los conmutadores de cada circuito o pasa la corriente a través de ambos circuitos (circuitos cerrados) o por ninguno pasa (circuitos abiertos). Por lo que dos expresiones booleanas serán iguales sí sólo sí representan circuitos equivalentes.
Características del álgebra de conmutación:
* Es un álgebra definida en un campo numérico de dos elementos: 0 y 1 (campo finitobinario), que sirve para analizar y describir el comportamiento de sistemas lógicos binarios.
* También se conoce como álgebra de boole.
* Convención de lógica positiva.
* Valores de las señales denotados por variables: X, Y, etc.
Álgebra de Boole:
Es un sistema matemático con un conjunto de elementos B y dos operaciones binarias cerradas (.) y (+) siempre y cuando se cumplan lossiguientes postulados:

*



Postulado 1: Las operaciones tienen propiedades conmutativas:
A + B = B + A
A * B = B * A
* Postulado 2: Las operaciones son distributivas entre si
A* (B + C) = A*B + A*C
A + (B*C) = A+B * A*C
* Postulado 3:Las operaciones tienen elementos identidad, estos elementos son definidos como (O) para (+) y (1) para (*)
A + 0 = A
A * 1 = A
* Postulado 4:Para cada elemento A, del conjunto B, existe otro elemento denominado complemento, a también del conjunto B, asi que se cumple:
A + A = 1
A*A = 0
Teoremas del Álgebra de Boole:
En cualquier álgebra de boole se pueden demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 1: El complemento del postulado 4 (denominado complemento o negación de unívocamente determinado, es decir, es único.Demostración: Supongamos que existen dos complementos de a2:

Teorema 2: (O teorema de los elementos nulos) Para cada cualquier elemento a, se verifica:

Denostación:

Teorema 3: Cada uno de los elementos identidad es el complemento del otro, es decir 1´ = 0 y 0´ = 1.
Demostración: si fuese cierto, deberían cumplir el cuarto postulado del algebra:

Por serúnico I único complemento: 0´ = 1

Por ser el único complemento: 1´ = 0
Teorema 4: (o teorema de idempotencia) para cada elemento a se verifica:

Demostración:

Teorema 5: (o teorema de involución) para cada elemento de a, se verifica que el complemento del complemento de a es a, es decir, (a´)´ = a

Teorema 6: (o te de absorción) para cada par de elementos, a y b, se verifica:Demostración:

Teorema 7: Para cada par de elementos, a y b, se verifica:

Demostración:

Teorema 8: (o leyes de Morgan) para cada par de elementos, a y b, se verifica:

Demostración: Se comprobara si se satisface el cuarto postulado





Teorema 9: (o leyes de Morgan generalizadas) para cualquier conjunto de elementos se verifica:

Teorema 10: (oteorema de asociatividad) cada uno de los operadores binarios (+) y (.) cumplen con la propiedad asociativa:

Álgebra de Conmutación:

Para el caso de los circuitos digitales restringimos el conjunto de elementos B utilizados en el álgebra booleana a los dos dígitos binarios {0, 1} y las operaciones binarias son las siguientes:

Operaciones del álgebra de conmutación
Se verifica que un...