Fundamentos de computadores álgebra de conmutación

Fundamentos de Computadores Álgebra de Conmutación

Objetivos
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Conceptuales:
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Conocer el Álgebra de Boole y el Álgebra de Conmutación como caso especial de aquella Propiedades del Álgebra de Boole Representación de funciones de conmutación en sus distintas formas Formas canónicas y formas normalizadas Representación de funciones incompletamente especificadas. Conjuntos completos deoperadores.

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Objetivos
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Procedimentales:
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Representación gráfica del "circuito" de cualquier expresión, identificando los operadores como símbolos gráficos. Obtención de las formas estándares suma de productos y producto de sumas de cualquier función de conmutación. Obtención las formas canónicas de cualquier función de conmutación. Simplificación de expresionesutilizando propiedades algebraicas

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Objetivos
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Actitudinales:
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Comprender la importancia de la base matemática en el área tecnológica La abstracción como mecanismo para resolver problemas complejos

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Bibliografía
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Básica:
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[GARC92] Capítulo 4 [MANO98] Capítulo 2 [NELS96] Capítulo 2

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Complementaria
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[KOHA78] y [UNGER89] Tratamiento matemáticoriguroso

Contenidos
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Álgebra de Boole Álgebra de Conmutación Funciones de conmutación. Representación Formas normalizadas Formas canónicas Funciones incompletamente especificadas Otras operaciones lógicas

Álgebra de Boole Definición axiomática

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El álgebra de Boole es un Sistema Matemático consistente en un conjunto B de elementos con cardinalidad superior a dos ydos operaciones matemáticas cerradas que denominaremos + y • que cumple los siguientes postulados:

Álgebra de Boole Definición axiomática
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p1: Propiedad conmutativa: ∀ x,y ∈ B
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(a) x+y = y+x (b) x•y = y•x (a) x•(y+z) = x•y + x•z (b) x+(y•z) = (x+y)•(x+z)

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p2: Propiedad distributiva: ∀x,y,z ∈ B
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Álgebra de Boole Definición axiomática
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p3: Postulado de loselementos de identidad: para x∈B
(a) existe un elemento de identidad con respecto al operador + es designado por el símbolo 0 y cumple:
x+0=0+x=x

(b) existe un elemento de identidad con respecto al operador • es designado por el símbolo 1 y cumple:
x•1=1•x=x
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p4: Axiomas del complemento: ∀x ∈ B, ∃ x’ ∈ B que cumple:
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(a) x+x’ = 1 (b) x•x’ = 0

Álgebra de Boole. Convenciones
●Notación del producto:
a•b = ab

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Precedencia: • precede a +
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(a•b) + (c•d) = ab + cd

Álgebra de Boole: Propiedades
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T0: Principio de dualidad: cada teorema deducible de los postulados de un álgebra booleana puede transformarse en un segundo teorema válido sin más que intercambiar las operaciones + y • junto con los elementos identidad 0 y 1. T1: Teorema de idempotencia
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●(a) x + x = x (b) xx = x (a) x + 1 = 1 (b) x0 = 0 (x’)’ = x

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T2: Teorema de los elementos dominantes
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T3: Ley involutiva
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Álgebra de Boole: Propiedades
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T4: Teorema de absorción
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(a) x + xy = x (b) x(x+y) = x (a) x + (x’y) = x+y (b) x(x’+y) = xy (a) x+(y+z)= (x+y)+z (b) x(yz)=(xy) z (a) (x+y)’ = x’y’ (b) (xy)’ = x’ + y’

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T5: Teorema del consenso
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T6: Teorema asociativo
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T7: Leyes de DeMorgan
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Álgebra de Conmutación
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Objetivo: establecer una relación entre el Álgebra de Boole y los circuitos de conmutación. Tipo particular del álgebra de Boole: Álgebra de Conmutación. En este álgebra: B={0,1} El Álgebra de Conmutación cumple todos los postulados y propiedades del Álgebra de Boole.
x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 x+y(OR) x•y (AND) 0 1 1 1 0 0 0 1 x 0 1 x'(NOT) 1 0

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Funciones de conmutación
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Definición: Una función de conmutación es una aplicación f: Bn  B Cada elemento x∈Bn es un conjunto de variables de B x=(x1, x2, …, xn). A este conjunto de variables se le denomina n-tupla. Una función de conmutación es completamente especificada cuando asigna un valor (0 o 1) a todos los posibles...