Algebra Lineal 7

´
Algebra
Lineal VII: Independencia Lineal.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Divisi´on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Independencia Lineal.

Definici´
on de independencia lineal. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto finito devectores del espacio vectorial. El conjunto S se dice que es
linealmente dependiente sobre el campo K si existen escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K no todos iguales a 0
tal que
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn = 0.

(1)

En caso contrario; es decir, si los u
´nicos escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K que satisfacen la ecuaci´on (1) son
c1 = c2 = · · · = cn = 0,
entonces el conjunto S se dice que eslinealmente independiente sobre el campo K. En otras palabras,
el conjunto S es linealmente independiente si la u
´nica combinaci´on lineal de los vectores de S que es igual
al vector 0 es aquella para la cual todos los escalares son cero.
Definici´
on Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. Un vector v ∈ V sedice que es linealmente dependiente
sobre S si v es una combinaci´on lineal de los vectores de S. En caso contrario, se dice que v es linealmente
independiente sobre S.
Teorema. Las siguientes afirmaciones son correctas
1.

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2.

Cualquier conjunto que contenga un u
´nico vector diferente de cero, v = 0, es linealmenteindependiente.

3.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1 , v2 }, donde v1 = 0, v2 = 0,
es linealmente dependiente si, y s´olo si, uno de los vectores es m´
ultiplo escalar del otro.

4.

Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

5.

Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmenteindependiente.
Prueba: Las pruebas de estos resultados son bastante sencillas.

1

1.

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn , 0}
y considere la combinaci´on lineal, con λ = 0
0 v1 + 0 v2 + · · · + 0 vn + λ 0 = 0
Este es una combinaci´on lineal donde no todos los escalares son iguales a 0 –λ ya se indic´o que no
es igual a 0 y por lotanto el conjunto es linealmente dependiente.

2.

Cualquier conjunto que contenga un u
´nico vector diferente de cero, v = 0, es linealmente independiente. Considere la combinaci´on lineal
λ v = 0.
Por las propiedades iniciales de los espacios vectoriales, se prob´o que si en la ecuaci´on anterior
v = 0, entonces λ = 0, por lo tanto el u
´nico escalar que hace que esta ecuaci´on sea cierta es λ =0;
por lo tanto, el sistema es linealmente independiente.

3.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1 , v2 }, donde v1 = 0, v2 = 0,
es linealmente dependiente si, y s´olo si, uno de los vectores es m´
ultiplo escalar del otro. Suponga
que v2 = λ v1 , entonces
v2 = λ v 1
o
λ v1 − 1 v2 = 0.
y la ecuaci´on generada a partir de una combinaci´on lineal de los vectores deS tiene una soluci´on
distinta de la trivial y S es linealmente dependiente.
En la direcci´on contraria, suponga que S = {v1 , v2 } es linealmente dependiente, entonces existe una
soluci´on distinta de la trivial de la ecuaci´on
λ1 v1 + λ2 v2 = 0.
sin p´erdida de generalidad, suponga que λ1 = 0, entonces existe λ−1
1 =

1
λ1 ,

tal que

1
1
(λ1 v1 + λ2 v2 ) =
0=0
λ1
λ1
Por lo tanto

1
1
λ 1 v1 +λ 2 v2 = 0
λ1
λ1

o, finalmente
v1 = −

λ2
v2
λ1

y v1 es un m´
ultiplo escalar de v2 .
4.

Cualquier conjunto que contenga un conjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un vector linealmente dependiente y sea S1 = {v1 , v2 , . . . , vn , vn+1 , vn+2 , . . .,
vn+k } un conjunto tal que S ⊆ S1 . Puesto que S es linealmente dependiente existen...