Algebra Lineal Resumido

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Instituto Tecnológico Superior de las Choapas |
Algebra lineal |
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Alumno: Victor Pool Santos
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Prof. Ing. Mec. Tomas López Trujillo
Prof. Ing. Mec. Tomas López Trujillo
Resumen unidad 1, 2, 3, 4 y 5
Resumen unidad 1, 2, 3, 4 y 5


Introducción

El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico,heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.

Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia deestudiar álgebra lineal.

Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería.

Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión de los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas
de ecuaciones lineales, espaciosvectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales.

Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones diferenciales y en otras materias de especialidad.

Unidad 1
Números complejos
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra,sólo se obtenían las soluciones de las raíces cuadradas de números positivos. La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entre ellos Herón de Alejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los números complejos se hicieron más populares en el sigloXVI, cuando se buscaba hallar las fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque sólo estaban interesados en las raíces reales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.
Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna (1545) la necesidad dedefinir y utilizar números que respondan a la forma a con a<0. En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10 unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.
La solución debía ser fácil. Si una parte es “x” la otra parte es “y = x-10”, tal que x.y = 40. Reemplazando: x.(10-x) = 40,operando x2 –10 x + 40 = 0.
Al resolver la ecuación queda x1,2= 5 ± −15 . A tales soluciones el filósofo y matemático alemán Descartes (1596-1650) las llamó imposibles o imaginarios, y en 1637 dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones, son números de la forma a+bi, con a y b reales.

Fue Karl F. Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usó los números complejos enforma realmente confiable y científica. En 1799 demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica de cualquier grado, pertenecen a un conjunto de números que él llamo complejos, y que este conjunto estaba formado por un número ordinario (número real) más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.

La implementación más formal, con pares de número números realesfue dada en el Siglo XIX.
NÚMEROS COMPLEJOS
Definición 1:
Un número complejo es un par ordenado de números reales.
De acuerdo a la definición, la expresión analítica del conjunto de los números
complejos es: C ={(a; b) / a∈R ∧ b∈R }
Representación gráfica de un número complejo.
Para graficar un complejo en el plano real, se tiene en cuenta que el eje de abscisas recibe el nombre de eje...