Algebra lineal : o

AI UNIDAD.
NÚMEROS COMPLEJOS.

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales secumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos,así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondaselectromagnéticas y la corriente eléctrica.

SUBTEMAS.
DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
DEFINICIÓN.
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
* SUMA

* PRODUCTO POR ESCALAR

* MULTIPLICACIÓN

* IGUALDAD

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como lassiguientes:
* RESTA

* DIVISIÓN

POTENCIA DE “ i ” .

En cuanto a potencias de i (la unidad imaginaria de un número complejo), se tienen 4 potencias conocidas como básicas, ya que en ellas nos basaremos para sacar otras potencias más grandes.

i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.
Para sabercuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i22
22÷4=5, y el resto es 2.
i22 = (i4)5 · i2 = − 1.
i27 = −i

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN
NÚMERO COMPLEJO-
Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano. Esto es, la abscisade cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria.
Note que los complejos cuya parte imaginaria es nula; es decir, los número de la forma z = (a,0) son puntos localizados sobre el eje de las abscisas o eje x.
Puede demostrarse que los números complejos de la forma (a,0) tienen las mismas propiedades aritméticas que el número real a. Por esta razón, se puede identificar el númerocomplejo (a,0) con el número real a.

Igualmente, los complejos cuya parte real es nula; es decir, los números de la forma z=(0,b) están localizados sobre el eje de las ordenadas o eje y. Por esta razón, algunos autores utilizan los términos eje real y eje imaginario para referirse, respectivamente, al eje x y al eje y del plano cartesiano (Fig. 1).

El modulo de z lo definiremos como |z|.Como no sabemos cual es el valor de |z|, al ver la figura nos podemos dar cuenta de que se puede usar el Teorema de Pitágoras, ya que en este caso |z| seria la hipotenusa, quedándonos algo así.

|z|2= a2+ b2.
|z|2= a2+b2.
|z|= a2+b2

FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.
FORMA POLAR
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nuloz = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

FORMA EXPONENCIAL
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce...