Algebra lineal

Proyecciones Ortogonales: Proceso de Gram-Schmidt
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
28.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . o 28.2. Ortogonalidad a un espacio . . 28.3. Espacio perpendicular . . . . . 28.4. Espacio perpendicular y espacio 28.5. Componente y Proyecci´n . . . o 28.6. Gram-Schmidt . . . . . . . . . 28.7. Descomposici´n ortogonal . . . o . .. . . . . . . nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 3 3

28.1.

Introducci´n o

En esta lectura veremos el proceso para ortogonalizar un conjunto de vectores. Este proceso es conocido como el proceso de Gram-Schmidt.

28.2.

Ortogonalidad a un espacio

Teorema El vector u es ortogonal a todo vector de V = Gen{v1 , . . . , vk } siy s´lo si o u • vi = 0, para todo i = 1, ..., k Demostraci´n o Si u es ortogonal a todo V , entonces es ortogonal a todo elemento de V . Los elementos vi son elementos de V . Por tanto, u • vi = 0. Supongamos que u • vi = 0, y sea v ∈ V . Como V est´ generado por los vi , deben existir ci tales que: a v = c1 v 1 + · · · + ck v k Multiplicando por u: u • v = c1 u • v 1 + · · · + ck u • v k c1 · 0+ · · · + c k · 0 = 0 = por tanto, u es ortogonal a todo elemento de V .

28.3.

Espacio perpendicular

Definici´n 28.1 o Sea V un espacio lineal dentro de un espacio vectorial W . El conjunto de todos los vectores de W ortogonales a V se llama el complemento ortogonal de V y se representa por V ⊥ (se lee “V perpendicular”). Teorema El complemento ortogonal de un subespacio lineal tambi´n esun subespacio lineal. e Demostraci´n o ⊥ =∅ V Claro 0 ∈ V ⊥ , ya que ∀v, 0 • v = 0 V ⊥ es cerrado bajo la suma Efectivamente, si x y y son dos vectores de V ⊥ entonces para todo vector v de V : x • v = 0 y y • v = 0. As´ ı (x + y) • v = x • v + y • v = 0 + 0 = 0 probando que x + y est´ en V . a ⊥ es cerrado bajo el producto V Efectivamente, si x est´ en V ⊥ entonces para todo vector v de V : x •v = 0. As´ si c es un escalar cualquiera a ı, probando que cx est´ tambi´n en V ⊥ . a e Estos tres hechos prueban que V ⊥ es un subespacio. (c · x) • v = c · (x • v) = c · 0 = 0

28.4.

Espacio perpendicular y espacio nulo

Teorema Sea A cualquier matriz m × n. Entonces (Col(A))⊥ = ν(AT ) (Ren(A))⊥ = ν(A) Teorema Sea V un subespacio cualquiera.Entonces (V ⊥ )⊥ = V. V ∩ V ⊥ = {0}

Al pasarde las columnas a los renglones, tambi´n e

28.5.

Componente y Proyecci´n o

o Sea u un vector y sea V un subespacio con una base ortogonal B = {v1 , . . . , vk }. Entonces, la proyecci´n ortogonal de u sobre V es el vector u • vk u • v1 v1 + · · · + vk upr = v1 • v1 vk • vk La diferencia uc = u − up r se llama la componente de u ortogonal a V . u • vk u • v1 v1 − · · · − vk uc = u − v1 •v1 vk • vk u = upr + uc Teorema 2

Con la notaci´n precedente: o uc = u − upr para cualquier vector v de V distinto de upr . El vector upr es el vector de V lo m´s cercano a u y la distancia de u a V es la magnitud del vector uc . a < u−v

28.6.

Gram-Schmidt

Todo subespacio V con producto punto tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal. Si ′ B = {v1 , . . . , vk } escualquier base de V , entonces B = {u1 , . . . , uk } es una base ortogonal, donde u1 = v1 v u2 = v2 − u2 •u1 u1 1 •u1 v u3 = v3 − u3 • u1 u1 − 1 • u1 . . . uk = vk − y Una Base ortonormal B se obtiene normalizando B . B =
′′ ′′

v3 • u2 u2 • u2 u2 vk • u2 u2 • u2 u2

vk • u1 u1 • u1 u1

−

− ··· −

v2 • uk−1 uk−1 • uk−1 uk−1

Gen{v1 , . . . , vi } = Gen{u1 , . . . , ui },
′

i = 1, ....