algebra lineal

EIP 1111  ALGEBRA LINEAL
APUNTE DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una colección de 7 ecuaciones simultáneas, cada una con 8 incógnitas B" ß B# ß ÞÞÞÞß B8 se
llama sistema de 7 ecuaciones con 8 variables. Así un sistema de ecuaciones es de la
forma:
ЇÑ
+"" B"  +"# B#  ÞÞÞÞÞÞ  +"8 B8 œ ,"
+#" B"  +## B#  ÞÞÞÞÞÞ  +#8 B8 œ ,#ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
+7" B"  +7# B#  ÞÞÞÞÞÞ  +78 B8 œ ,7
El sistema anterior se dice homogéneo si las 7 ecuaciones lineales son homogéneas, es
decir:
+"" B"  +"# B#  ÞÞÞÞÞÞ  +"8 B8 œ 0
+#" B"  +## B#  ÞÞÞÞÞÞ  +#8 B8 œ 0
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ
+7" B"  +7# B#  ÞÞÞÞ  +78 B8 œ !
sea ? œ Ð5" ß 5# ß ÞÞÞÞÞÞÞ58 Ñß se dirá que ? es solución del sistema Ð‡Ñ si ? es solución del
sistema (‡Ñ si ? es solución de cada una de las ecuaciones del sistema.
Î +""
Ð +#"
Ð
Se define la matriz de los coeficientes como E œ Ð À
Ð
À
Ï +7"

1

+"#
+##
À
À
+7#

+"$
+#$
À
À
+7$

ÞÞÞ
ÞÞÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞ

+"8 Ñ
+#8 Ó
Ó
À Ó
Ó
À
+78 Ò

Î +""
Ð
Ð
Ð
Ð +#"
Ð
Ð
Ð
y la matriz ampliada es E¸, œ Ð À
Ð
Ð
Ð
Ð À
Ð
Ð
Ð
Ï +7"

+"#

+"$

ÞÞÞ

+##

+#$

ÞÞÞ

À

À

ÞÞÞÞ

À

À

ÞÞÞÞÞ

+7#

+7$

ÞÞ

7 ‚ 8 y 7 ‚ 8  " respectivamente.

+"8 º," Ñ
Ó
Ó
Ó
+#8 º,# Ó
Ó
Ó
Ó
À À º À Ó tinen orden
, que
Ó
Ó
Ó
À ÀºÀ Ó
Ó
Ó
Ó
+78º,7 Ò

Î +""
Ð +#"
Ð
El sistema Ð‡Ñ se puede escribir E\ œ , siendo E œ Ð À
Ð
À
Ï +7"
Î B" Ñ
Î ," Ñ
Ð B# Ó Ð ,# Ó
\œÐ
à ,
Þ
Óœ Ð
Ó
À
À
Ï B8 Ò
Ï ,8 Ò

+"#
+##
À
À
+7#

+"$
+#$
À
À
+7$

ÞÞÞ
ÞÞÞ
ÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞ
ÞÞÞÞÞ

+"8 Ñ
+#8 Ó
Ó
À Ó
,
Ó
À
+78 Ò

y el sistema homogéneo como E\ œ !Þ

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para resolver sistemas deecuaciones lineales se usa la eliminación de Gauss o de
Gauss- Jordan.
Para resolver un sistema no homogéneo se trabaja con la matriz ampliada E¸, y se lleva
ß
ésta a una matriz equivalente llamada matriz escalón reducida por filas V ¸, Þ Esta matriz
tiene las siguientes características:
"Ñ la primera entrada no nula de cada fila es un 1, llamado pivote.
#Ñ en la columna donde está el pivotetodas las otras entradas son cero.
$Ñ las filas nulas estan debajo de las filas no nulas.
%Ñ si O3 representa la columna donde está el pivote de la fila 3 entonces O"  O#  ÞÞÞÞ
Algoritmo:
Para converitr cualquier matriz a la forma de escalón reducida por filas o escalonada,
proceda con los pasos siguientes:
Paso1: Vaya a la columna no cero del extremo izquierdo.
Paso2. Si el primerrenglón o fila tiene un cero en la columna del paso 1, intercámbielo
con uno que tenga un elemento no cero en la misma columna. Esto se hace permutando
filas.
Paso 3: Transforme en 1 esta primera entrada no nula de la fila ". Ésta recibe el nombre
de pivote.
Paso 4: Obtenga ceros abajo o arriba y abajo del pivote.
2

Paso 5: Repita el proceso en la fila Nº 2, a partir del paso 1. Haciendo ceroslas restantes
entradas en la siguiente columna.
Paso 6: Los pivotes deben ir distribuidos hacia la derecha y hacia abajo, como escalones.
Paso 7: Si hubiera filas nulas recuerde que éstas se ubican al final.
Ejemplo: Las siguientes son matrices escalon reducidas por filas:
Î"
!
Ï!

!
"
!

!Ñ Î"
! ß
!
Ò Ï!
"

#Ñ
"
! àŒ
!
!Ò

$
!

!
"

Teorema: Toda matriz esequivalente a una, y sólo una matriz escalón reducida por filas.
Veamos ahora cómo emplear la eliminación de Gauss-Jordan para resolver cualquier
sistema lineal . El proceso se aplica a la matriz aumentada del sistema. Produce una
matriz escalón reducida por filas, cuyo sistema correspondiente es equivalente al sistema
dado y además...