Algebra Lineal
Páginas: 5 (1067 palabras)
Publicado: 17 de octubre de 2011
ALGEBRA LINEAL
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
Punto 1.1
x-4y-7z=1 1-4-7 5-7-1-41615-4:5 -5+20+355-7-1-5 5
5x-7y-z=5 0 13 34 0
-4x+y+6z=-4 1-4-701334-41610-4:4 -4-16 -28-41 6 4 40 -15 -12 0
1-4-7 01334-0-15-12 1 0-0:13
1-4-7 0 134-0-15-12 1 0-0/13 1-4-7 01334-0-15-12 1 0-0:13 1-4-7 0 134-0-15-12 1 0-0/13
1-4-7 013413 0-15-12 1 0-0.4-0+4 +136131-4 -7 0 1
1-4-7 013413 0-15-12 1 0-0.4 -0+4 +136131-4-7 0 1
1 0 4513 1 1 0 4513 1
104513 013413 0-15-12 1 00.15 0+15 510130-15 -12 0 0
0 0 35413 0
104513 013413 001 1 0 0/3413 104513 013413 0035413 1 0 0/35413 104513 013413 0011 0 0/3413
104513 010 001 1 00.-4513 00 341301 3413 0 0 104513 010 001 1 00.-4513
0 1 0 0
0 1 0 0
100 010 001 1 0 0 1 0 0 1 00 -451310 4513 0 1 100 010 001 1 0 0
1 00 1
Respuesta: X=1 Y=0 Z=0
Punto 1.2
La matriz de coeficientes es:
La matriz ampliada de A/B es:
Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es rg (A) = 2
Y el rango de la matriz ampliada es rg (A/B) es: 2
Los rangos son iguales pero su valor es menor al número de incógnitas,
Entonces el sistema es compatibleindeterminado y tiene infinitas soluciones.
La solución en función del parámetro t es la siguiente:
149 + 45 * t t R
109 + 32 * t t R
= t t R
Punto 1.3
La matriz de los coeficientes A es:
La matriz de ampliada A/B es:
- 5*
Por lo tanto, el rango de la matriz de los coeficientes es rg (A):4
Y el rango de la matriz ampliada es rg(A/B): 4
Comolos rangos son iguales y coincide su valor con el número de incógnitas,
El sistema es compatible determinado y tiene solución única, y es la siguiente:
Punto 1.4
La matriz de coeficientes A es:
La matriz ampliada de A/B es:
Por lo tanto, el rango de la matriz de los coeficientes rg (A) = 2
Y el rango de la matriz de ampliada es rg (A/B)= 3
Como los rangos son diferentes el sistema es incompatible y no tiene solución.
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorización LU.
Se Define primero las matrices L y U
L=
U=
De donde:
Así; quedan las siguientes ecuaciones:
∝1=5
-4∝1+β1=-7, dedonde resulta β1=13
-7∝1+β2=-1, de donde resulta β2=34
4∝1+β3=-5, de donde resulta β3=-25
∝2=-1
-4∝2+∝4β1=1, de donde resulta ∝4=-313
-7∝2+∝4β2+β4=6, de donde resulta β4=-35
4∝2+∝4β3+β5=-1, de donde resulta β5=-3613
∝3=6
-4∝3+∝5β1=-1, de donde resulta ∝5=23
-7∝3+∝5β2+β4∝6=-1, de donde resulta ∝6=74135
4∝3+∝5β3+β5∝6+β6=-1, de donde resultaβ6=251726455
Por tanto las matrices L y U son:
L=
1 | 0 | 0 | 0 |
5 | 1 | 0 | 0 |
-1 | - 3/13 | 1 | 0 |
6 | 23 | 741/35 | 1 |
U=
1 | -4 | -7 | 4 |
0 | 13 | 34 | -25 |
0 | 0 | -35 | -2 10/13 |
0 | 0 | 0 | 251426/455 |
Ahora para resolver el sistema de ecuaciones empleamos primero: Ly=b, así;
=
Así nos queda...
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
Punto 1.1
x-4y-7z=1 1-4-7 5-7-1-41615-4:5 -5+20+355-7-1-5 5
5x-7y-z=5 0 13 34 0
-4x+y+6z=-4 1-4-701334-41610-4:4 -4-16 -28-41 6 4 40 -15 -12 0
1-4-7 01334-0-15-12 1 0-0:13
1-4-7 0 134-0-15-12 1 0-0/13 1-4-7 01334-0-15-12 1 0-0:13 1-4-7 0 134-0-15-12 1 0-0/13
1-4-7 013413 0-15-12 1 0-0.4-0+4 +136131-4 -7 0 1
1-4-7 013413 0-15-12 1 0-0.4 -0+4 +136131-4-7 0 1
1 0 4513 1 1 0 4513 1
104513 013413 0-15-12 1 00.15 0+15 510130-15 -12 0 0
0 0 35413 0
104513 013413 001 1 0 0/3413 104513 013413 0035413 1 0 0/35413 104513 013413 0011 0 0/3413
104513 010 001 1 00.-4513 00 341301 3413 0 0 104513 010 001 1 00.-4513
0 1 0 0
0 1 0 0
100 010 001 1 0 0 1 0 0 1 00 -451310 4513 0 1 100 010 001 1 0 0
1 00 1
Respuesta: X=1 Y=0 Z=0
Punto 1.2
La matriz de coeficientes es:
La matriz ampliada de A/B es:
Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es rg (A) = 2
Y el rango de la matriz ampliada es rg (A/B) es: 2
Los rangos son iguales pero su valor es menor al número de incógnitas,
Entonces el sistema es compatibleindeterminado y tiene infinitas soluciones.
La solución en función del parámetro t es la siguiente:
149 + 45 * t t R
109 + 32 * t t R
= t t R
Punto 1.3
La matriz de los coeficientes A es:
La matriz de ampliada A/B es:
- 5*
Por lo tanto, el rango de la matriz de los coeficientes es rg (A):4
Y el rango de la matriz ampliada es rg(A/B): 4
Comolos rangos son iguales y coincide su valor con el número de incógnitas,
El sistema es compatible determinado y tiene solución única, y es la siguiente:
Punto 1.4
La matriz de coeficientes A es:
La matriz ampliada de A/B es:
Por lo tanto, el rango de la matriz de los coeficientes rg (A) = 2
Y el rango de la matriz de ampliada es rg (A/B)= 3
Como los rangos son diferentes el sistema es incompatible y no tiene solución.
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorización LU.
Se Define primero las matrices L y U
L=
U=
De donde:
Así; quedan las siguientes ecuaciones:
∝1=5
-4∝1+β1=-7, dedonde resulta β1=13
-7∝1+β2=-1, de donde resulta β2=34
4∝1+β3=-5, de donde resulta β3=-25
∝2=-1
-4∝2+∝4β1=1, de donde resulta ∝4=-313
-7∝2+∝4β2+β4=6, de donde resulta β4=-35
4∝2+∝4β3+β5=-1, de donde resulta β5=-3613
∝3=6
-4∝3+∝5β1=-1, de donde resulta ∝5=23
-7∝3+∝5β2+β4∝6=-1, de donde resulta ∝6=74135
4∝3+∝5β3+β5∝6+β6=-1, de donde resultaβ6=251726455
Por tanto las matrices L y U son:
L=
1 | 0 | 0 | 0 |
5 | 1 | 0 | 0 |
-1 | - 3/13 | 1 | 0 |
6 | 23 | 741/35 | 1 |
U=
1 | -4 | -7 | 4 |
0 | 13 | 34 | -25 |
0 | 0 | -35 | -2 10/13 |
0 | 0 | 0 | 251426/455 |
Ahora para resolver el sistema de ecuaciones empleamos primero: Ly=b, así;
=
Así nos queda...
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