Algebra lineal

RESOLUCIÓN DEL CUARTO CONTROL

1) Sea en
a) Determinar una base para
Solución:
Sea


b) Escriba el vector como , donde esta en y esta en
Solución:
Normalizando y .
yTenemos que



2) Escriba la ecuación en términos de las nuevas variables e identifique la sección cónica obtenida. Además determine una matriz que haga esa rotación.
Solución:
Sea la matrizsimétrica A, obtenida de la ecuación cuadrática:
Calcularemos los valores propios y vectores propios de la matriz A

Si
.
Si entonces

Entonces el vector propio asociado a es, de aquí que
Si entonces


Entonces el vector propio asociado a es
de aquí que
Normalizando cada vector obtenemos
y
Entonces , puesto que , lamatriz de rotación es dada por Q.
Luego

Puesto que y . La ecuación cuadrática representa una elipse, circulo o sección cónica degenerada, cuya ecuación es:

La matriz de rotación es dada por3) Determine si la forma cuadrática dada es positiva definida, positiva semidefinida



Solución:
Sea la matriz simétrica A, obtenida de la forma cuadrática F(x,y) :
Calcularemos susvalores propios


Si

a) F(x,y) no es positiva semidefinida, puesto que los valores de la matriz simétrica asociada a F no son todos no negativos.
b) F(x,y) no es positiva definida, puesto que losvalores de la matriz simétrica asociada a F no son positivos.

4) Hallar la descomposición en valores singulares de la matriz
Solución
Calculamos y
, pues A es simétrica

Calculamos losvalores propios y vectores propios.



Luego los valores propios son: .
Si entonces


Entonces el vector propio asociado a es

Si entonces


Entonces el vector propioasociado a es

Normalizando cada vector obtenemos: y .
Entonces

De aquí tenemos que


Donde los elementos de la diagonal de la matriz D son los valores singulares de la matriz A, y ;...