Algebra lineal

Problemas resueltos de Espacios Vectoriales:

1.- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) {(2, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) , (3, 1, 1, 2) , (0, 1, 2, 1) , (2, −1, 1, −1)} en R4 Solución: Como son 5 vectores de R4 con toda seguridad son linealmente dependientes, pues hay más vectores que componentestiene cada vector1 . Ahora, escribimos los vectores como las de una matriz A y calculamos la forma escalonada por las de dicha matriz A:
   A=   2 1 3 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 −1 1 −1    E1 ↔ E2   ∼        1 2 3 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 −1 1 −1   E2 − 2E1  E3 − 3E1   ∼  E4 − 2E1

     

1 0 0 0 0      

 1 1 1 −1 −1 −1   −E2 −2 −2 −1   ∼ 1 21  −3 −1 −1 1 0 0 0 0       1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 2 1 1 1 0 0 

     

1 0 0 0 0      

 1 1 1 E + 2E2 1 1 1  3  E4 − E2 −2 −2 −1   ∼ 1 2 1  E5 + 3E2 −3 −1 −1 1 0 0 0 0       1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0    E5 − 2E3   ∼  1 1 0 1 0    =U  

  E3 ↔ E4   ∼  1 1 0 1 2 

  E5 − 2E4  ∼ 

Como en la matriz escalonada por las U hay una la de ceros se deduce que los vectores originales son linealmente dependientes, como ya dijimos. Por otro lado, sabemos que el subespacio de R4 generado por las las de la matriz A coincide con el subespacio de R4 generado por las las de la matriz escalonada U y además sabemos que las las distintas de cero de una matriz escalonada por lassiempre son linealmente independientes. De manera que:
(2, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) , (3, 1, 1, 2) , (0, 1, 2, 1) , (2, −1, 1, −1) =
1 Os
recuerdo que el espacio vectorial

Kn

tiene dimensión n, de manera que cualquier

familia de vectores de

Kn

formada por más de n vectores es linealmante dependiente.

1

= (1, 1, 1, 1) , (0, 1, 1, 1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)

Como enla matriz escalonada U hay cuatro las linealmente independientes, las las distintas de cero, estas las tomadas como vectores de R4 son un sistema generador, de hecho son una base de R4 , luego los vectores originales son un sistema generador de R4 . En resumen, el conjunto de vectores de R4
{(2, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) , (3, 1, 1, 2) , (0, 1, 2, 1) , (2, −1, 1, −1)}

es linealmentedependiente y un sistema generador de R4 . Como es linealmente dependiente no es una base de R4 , pero al ser un sistema generador de R4 podemos extraer de él alguna base eliminando algún vector que sea combinación lineal de los demas. Para hacer esto observemos lo siguiente, ya hemos dicho que las las de la matriz A y las las de la matriz U generan el mismo subespacio de R4 . A la vista de la matriz Uvemos que sus cuatro primeras las forman una base de R4 , esto nos podría hacer pensar que las cuatro primeras las de A son una base de R4 . En general esto no es cierto pues durante el proceso de escalonamiento de la matriz A podríamos haber permutado la quinta la de A con alguna de las cuatro primeras las, de manera que las cuatro primeras las de U no se corresponderían con las cuatroprimeras las de A. Sin embargo, en este ejemplo concreto, como en el proceso de escalonamiento de la matriz A, las dos únicas permutaciones de las que ha habido son: F ila1 ↔ F ila2 y F ila3 ↔ F ila4 , las cuatro primeras las de la matriz A forman una base de R4 . Luego, {(2, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) , (3, 1, 1, 2) , (0, 1, 2, 1)}, es una base de R4 . b) {(1, 1, 1, 1, 1) , (2, 1, 2, 1, 2) , (1, 2, 1,2, 1) , (0, 0, 0, 0, 1)} en Z5 7 Como son cuatro vectores de K 5 , donde K = Z7 , no pueden ser un sistema generador de Z5 , luego no son una base de Z5 . Para ver si son linealmente 7 7 independientes hacemos igual que en el ejercicio anterior, es decir, escribimos los vectores como las de una matriz A y calculamos la forma escalonada por las de dicha matriz A:
1  2 A=  1 0  1  0   0...