Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL
OBJETIVO GENERAL:

EL ALUMNO ANALIZARÁ Y ADQUIRIRÁ LOS CONOCIMEINTOS DEL ÁÑGEBRA LINEAL Y LOS PALICARÁ COMO UNA HERRAMIENTA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICO DEL ÁREA DE INGENOERÍA.

TEMAS Y SUBTEMAS

1. NÚMERO COMPLEJOS

OBJETIVO PARICULAR:

El alumno conocerá los fundamentos conceptuales de los números complejos

1.1. DEFINICIÓN Y ORIGEN Y OPRACIONESFUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo es un número escrito de la forma

z=a + bi

donde a y b

son números reales e i es el símbolo formal que satisface la relación i2 = -1. Se considera que un número real es un tipo especial de número complejo, identificándose a con a + 0i . Más aún las operaciones aritméticas con números reales pueden extenderse al conjunto de números reales.Interpretación geométrica
Eje Imaginario b z=a+bi

El conjugado complejo es una imagen reflejada Eje Real a

z=a-bi

Operaciones fundamentales con números complejos

Suma y multiplicación de números complejos. (a + bi ) + (c + di ) = ( a + b) + ( b + d) i.................(1) (a + bi ) (c + di ) = ( ac + bd) + ( ad + bc) i.............(2)

Estas reglas se reducen a la suma ymultiplicación comunes de números reales cuando b y d son ceros en (1) y (2). La resta de números complejos se define como. Z1 + z2 = z1 + (-1) z2

El conjugado de z = a + bi es un número complejo z ( zeta testada) obtenemos z cambiando el signo de la parte imaginaria z = a – bi

1.2 Potencias de “i” modulo ó Valor absoluto de un número complejo Potencias de la Unidad Imaginaria:

Valor absoluto

z =zz = a 2 + b 2

1.3. forma polar y exponencial de un número complejo
Forma Polar Sea

wz = w z [cos(ϑ + ϕ ) + isen(ϑ + ϕ )]

Im z

w wz

ϑ −ϕ
.

z

z

ϑ
ϕ
Re z Figura 1.1
.
.

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentesde cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binomica:

Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las sigueientes maneras: z = x + iy = ρ (COSθ + i ⋅ senθ ) = ρ • e iθ
Forma binomicaForma trigonometrica Forma exponencial

 x = ρ ⋅ cos θ Donde   y = ρ ⋅ senθ Y ρ = z = x2 + y2 →

(ρ cos θ )2 + (ρsenθ )2

= ρ 2 cos 2 θ + sen 2θ = ρ 144 2444 4 3
cos θ + sen θ =1
2 2

(

)

Y tan θ =

y x

1.4. Teorema DeMoivre , potencias y extracción de raíces de un número complejo.
Teorema de DeMoivre y Potencias De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de unnúmero complejo Donde la formula se usa cuando z = w = r (cos

ϕ + isen ϕ ) en este caso

= r 3 (cos 3ϕ + isen3ϕ ) En general, para cualquier entero positivo k. z k = r k (cos kϕ + isenkϕ )

z 2 = r 2 (cos 2ϕ + isenϕ ) , y z3 = z ⋅ z2 = r (cos ϕ + isenϕ ) ⋅ r 2 (cos 2ϕ + isen 2ϕ )

a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos

Raícesde un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raízcuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que , por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no...