algebra lineal

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Algebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
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Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Subespacios vectoriales.

Definici´n de subespacios vectoriales. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un
o
subconjunto W ⊆ V,se dice que es un subespacio de V, denotado por W < V , si W , junto con las
operaciones de adici´n y multiplicaci´n por escalar, definidas en V, es, por si s´lo, un espacio vectorial,
o
o
o
sobre el mismo campo K.
Teorema. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W ⊆ V, es un subespacio
de V, denotado por W < V, si y s´lo si:
o
1.

El subconjunto W est´ cerradorespecto a la operaci´n de adici´n. Es decir
a
o
o
w1 + w2 ∈ W

2.

∀ w1 , w2 ∈ W

El subconjunto W est´ cerrado respecto a la operaci´n de multiplicaci´n escalar.
a
o
o
λw1 ∈ W

∀λ ∈ K y

∀ w1 ∈ W.

Prueba: Primero probaremos que si un subconjunto W ⊂ V es un subespacio de V; es decir, W < V
entonces debe satisfacer las dos propiedades. Suponga que W < V, es un subespacio de V,entonces por
definici´n W es un espacio vectorial sobre el campo K. Por lo tanto, W debe estar cerrado respecto a
o
las operaciones de adici´n y multiplicaci´n por escalar.
o
o
Suponga ahora que un subconjunto W ⊂ V satisface la clausura respecto a la adici´n y la multiplicaci´n
o
o
por escalar, entonces se probar´ que W < V. Puesto que W ⊂ V entonces se satisfacen las siguientes
apropiedades de las dos operaciones
1.

La adici´n es asociativa.
o
w1 + (w2 + w3 ) = (w1 + w2 ) + w3 ,

2.

La adici´n es conmutativa
o
w1 + w2 = w2 + w1 ,

3.

∀ w1 , w2 ∈ W

La multiplicaci´n por escalar es distributiva respecto a la adici´n vectorial.
o
o
k(w1 + w2 ) = k w1 + k w2

4.

∀ w1 , w2 , w3 ∈ W

∀ k ∈ K,

y w1 , w2 ∈ W.

La multiplicaci´n escalar es distributivarespecto a la adici´n de escalares.
o
o
(k1 + k2 )w = k1 w + k2 w
1

∀ k1 , k2 ∈ K,

y w ∈ W.

5.

La multiplicaci´n escalar es pseudoasociativa.
o
(k1 · k2 )w = k1 (k2 w)

6.

∀ k1 , k2 ∈ K

∀ w ∈ W.

Propiedad del id´ntico multiplicativo del campo. Si 1 ∈ K es el id´ntico multiplicativo, se tiene que
e
e
1w = w

∀w ∈ W.

7.

Puesto que W est´ cerrado respecto ala multiplicaci´n por escalar, 0 ∈ K y se sabe que 0w =
a
o
0, ∀w ∈ W, entonces 0 ∈ W y W contiene al id´ntico aditivo.
e

8.

Si 1 es el id´ntico multiplicativo del campo K, se tiene que
e
1 + (−1) = 0
Por la clausura del conjunto W respecto a la multiplicacion por escalar
(−1)w ∈ W

∀ w ∈ W.

Adem´s, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaci´n por escalar respecto ala adici´n,
a
o
o
se tiene que
[1 + (−1)]w = w + (−1)w = 0w = 0 ∀w ∈ W
Por lo tanto (−1)w es el inverso aditivo de w ∈ W y W tambi´n contiene los inversos aditivos.
e
Por lo tanto, la clausura respecto a la adici´n, junto con las incisos 1, 2, 7 y 8 prueban que W es
o
un grupo aditivo respecto a la adici´n. Finalmente, la clausura respecto a la multiplicaci´n por escalar,
o
o
junto conlos incisos, 3, 4, 5 y 6 completan la prueba que W < V.
Nota. Es importante notar que todo espacio vectorial V tiene dos subespacios impropios, el
primero es el subespacio formado por el vector 0, exclusivamente; es decir {0} y el restante es el propio
espacio vectorial V.
Teorema. Una condicion necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto W ⊂ V sea un
subespacio de V, es que 0 ∈ Vsea tambi´n un elemento de W.
e
Prueba: Por definici´n, W ⊂ V es un subespacio de V si W por si s´lo es un espacio vectorial. Por
o
o
lo tanto, 0 debe estar contenido en W ; es decir 0 ∈ W .
Teorema. El conjunto soluci´n de una ecuaci´n lineal con n inc´gnitas sobre un campo K es un
o
o
o
subespacio de Kn si, y s´lo si, la ecuaci´n es homogenea.
o
o
Prueba: Considere una ecuaci´n...