Algebra Lineal

Tema 3. Espacio af´ y eucl´
ın
ıdeo.
Movimientos
Definici´n 1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
o
Llamamos forma bilineal a toda aplicaci´n
o
f:

V ×V
(x, y)

−→
K
−→ f (x, y)

que verifica:
1. f (x, λy + µz) = λf (x, y) + µf (x, z)
∀ x, y, z ∈ V
y
λ, µ ∈ K.
2. f (λx + µy, z) = λf (x, z) + µf (y, z)
∀ x, y, z ∈ V
y
λ, µ ∈ K.
Al conjunto de las formasbilineales la denotamos por L2(V 2, K)
Obs´rvese que una forma bilineal es lineal para cada una de las
e
componentes.
Dpto. Matem´tica Aplicada
a

Tema 3.

pg.1

Ejemplo 1. Las siguientes aplicaciones son bilineales:
1. f : R2 × R2 −→ R definida como f [(a, b), (c, d)] = ac + bd
2. f : R2 × R2 −→ R definida como f [(a, b), (c, d)] = ad − bc
3. f : Kn × Kn −→ K definida como f (X, Y ) = X tAY ,con
A ∈ Mn(K).
Teorema 1. Sea f : V × V → K una forma bilineal. Entonces:
f (x, 0) = f (0, x) = 0

Dpto. Matem´tica Aplicada
a

∀x∈V

Tema 3.

pg.2

Definici´n 2. Se dice que una forma bilineal f : V × V → K
o
es sim´trica (L2 (V 2, K)) si verifica que
e
s
f (x, y) = f (y, x)

∀ x, y ∈ V

Ejemplo 2. La forma bilineal f : R2 × R2 −→ R definida por
f [(x1, x2), (y1, y2)] = x1y1+ x2y2 es sim´trica.
e
Definici´n 3. Se dice que una forma bilineal f : V × V → K
o
es antisim´trica (L2 (V 2, K)) si verifica que
e
a
f (x, y) = −f (y, x)

∀ x, y ∈ V

Proposici´n 1. Una forma bilineal f : V × V → K es alternada
o
si y s´lo si f (x, x) = 0 para todo x ∈ V
o
Proposici´n 2. Dada f ∈ L2(V 2, K), si la caracter´
o
ıstica de K
es distinta de 2, entonces f es alternadasi y solo si f es
antisim´trica
e
Dpto. Matem´tica Aplicada
a

Tema 3.

pg.3

Proposici´n 3. Si K es un cuerpo de caracteristica distinta de
o
2, tenemos que:
L2 (V 2, K) ⊕ L2 (V 2, K) = L2(V 2, K)
s
a
L2 (V 2, K)
s
L2(V 2, K)

y

L2 (V 2, K)
a

son

subespacios

vectoriales

de

Ejemplo 3. La forma bilineal f : R2 × R2 −→ R definida por
f [(x1, x2), (y1, y2)] =x1y2 − x2y1 es antisim´trica.
e
Definici´n 4. Dada f ∈ L2(V 2, K), se dice que es
o
no
degenerada a la izquierda si f (a, x) = 0 para todo x ∈ V ,
implica que a = 0. An´logamente se define no degenerada a
a
la derecha
Corolario: En dimensi´n finita, una forma bilineal es no degenerada
o
a la izquierda si y solo si no degenerada a la derecha, y en ese
caso se dice no degenerada
Dpto.Matem´tica Aplicada
a

Tema 3.

pg.4

Ejemplo




0 1 0
Sea M = 1 −1 1 y f la forma bilineal dada por f (x, y) =
0 0 1
ξB (x)M ξB (y)t, siendo B la base can´nica. Prueba que f no es
o
degenerada.
Soluci´n
o
Consideramos a = (a1, a2, a3) y x = (x1, x2, x3) dos vectores de
R3. Supongamos f (a, x) = 0 ∀x ∈ R3
De la igualdad ξB (a)M ξB (x)t = 0 deducimos (a1, a2, a3) =
(0, 0,0)
Seg´n el corolario anterior. la aplicaci´n f es no degenerada
u
o

Dpto. Matem´tica Aplicada
a

Tema 3.

pg.5

Ortogonalidad (I)
Definici´n 5. Dados x, y ∈ V , se dice que x es perpendicular
o
u ortogonal a y con respecto a f si f (x, y) = 0 (x ⊥f y)
Definici´n 6. Dado S ⊂ V y x ∈ V , se dice que x es
o
perpendicular u ortogonal a S con respecto a f si f (x, y) = 0
para todo y∈ S.
Definici´n 7. El subespacio formado por todos los elementos
o
perpendiculares a S se denomina ortogonal de S con respecto
⊥f
de f por la izquierda y se denota por ( S)
⊥f

S = {x ∈ V /f (x, y) = 0; ∀y ∈ S}

De igual modo se define ortogonal de S con respecto a f por la
derecha
⊥f
S
= {x ∈ V /f (y, x) = 0; ∀y ∈ S}
Dpto. Matem´tica Aplicada
a

Tema 3.

pg.6

Ortogonalidad(II)
Proposici´n 4. Si f es una forma bilineal sim´trica o
o
e
alternada, entonces tenemos que:
⊥f

S = S⊥

f

Definici´n 8. Se denomina n´cleo por la izquierda de f al
o
u
subespacio
Keri(f ) = {x ∈ V /f (x, y) = 0, ∀y ∈ V } =

⊥f

V

An´logamente se define el n´cleo por la derecha de f (V
a
u

⊥f

)

Proposici´n 5. Si f es una forma bilineal sim´trica o
o
e...