Algebra Lineal

VECTOR Y VALOR PROPIO

En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eigenvalor.

Una herramientaimportante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v --> A v - λ v = 0 (Factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:[pic]

La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA(λ) = 0.
Si A es una matriz n×n, entonces pA tienegrado n y A tiene como máximo n valores propios.
El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valorespropios no reales son pares conjugados.
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:
[pic]
Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada satisface su propiopolinomio característico. Así, si λ1,λ2,...,λn son los valores propios de A se cumple que
[pic]
Por lo que los vectores columna de (A − λ2I)...(A − λnI) son vectores propios de λ1.

Propiedades de valores y vectores propios:

T. De Hamilton-Cayley: Si P es el polinomio característico de A, P(A)=0.
La suma de los n valores propios de una matriz es igual a su traza.
Los valores propiosde una matriz coinciden con los de su traspuesta.
El producto de los n valores propios de una matriz es igual a su determinante.
Si ti son los valores propios de A, ti n son los valores propios de An. Además A y An tienen los mismos vectores propios, n vectores propios distintos correspondientes a n valores propios distintos de orden de multiplicidad uno, constituyen una base del espaciovectorial donde está definida la matriz A.
Dada una matriz simétrica de coeficientes reales se verifica que sus valores propios son números reales y que los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.
Los vectores propios de una matriz y de su traspuesta, si corresponden a valores propios distintos, son ortogonales.
Si un valor propio para una matriz es un número complejo,se verifica que su complejo conjugado es también un valor propio de la matriz.
Dos matrices semejantes tienen la misma ecuación característica y consecuentemente los mismos valores propios con el mismo grado de multiplicidad.
Si A y B son dos matrices semejantes mediante la matriz de paso P y x es un vector propio de A asociado a t, entonces Px es un vector propio de B asociado a t.
Una matriztriangular tiene como valores propios los elementos de la diagonal principal.
El conjunto de vectores propios asociados a un determinado valor propio constituye un espacio vectorial cuya dimensión es mayor o igual que 1 y menor o igual que el orden de multiplicidad del valor propio.
Sea p(x) un polinomio de grado n, sea t un valor propio de A y v un vector propio asociado a (A), entonces p (t)...