algebra lineal

1.1 Definición y origen de los números complejos.

=Historia de los números complejos=
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsquedade fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y estáen desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

=Definición=

Un número complejo z es una combinación lineal de la forma z=(a+bi)en donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.

Ejemplos:



Decimos que dos números complejos z = a + bi, w = c + di, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d.

Los conjuntos de la forma (a;0) sonnúmeros reales puros (CR) y se encuentran en el eje real. Los conjuntos de la forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros(CI) y se encuentran en el eje imaginario.

=Opuesto y conjugado de un numero complejo=
Dado: z=(a;b) su opuesto es -z=(-a;-b)
Dado: z=(a;b) su conjugado es z=(a;-b)

=Complejo nulo=
z=(a;b) es nulo si a=b=0, anotándose z=(0;0)

=Interpretación geométrica=
Losnúmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje x se llama eje real y el eje y se llama eje imaginario



=Número imaginario=
La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
=Adicción =
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

=Sustracción=
Seobtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

=Multiplicación=
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

=Potenciación=
La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dospares los pares ordenados.

=Forma Binomica=
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.
• +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
• -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
=Multiplicación con númeroscomplejos=
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

=División con números complejos=
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.a+bic+di=a+bi(c-di)c+di(c-di)=ac+bd+(bc-ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc-adic2+d2
a+bic+di=a+bi(c-di)c+di(c-di)=ac+bd+(bc-ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc-adic2+d2


=Ejemplo=
(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}

= (5 + 3i) + (6 – 3i)

= (5 + 6) + (3i – 3i)

= 11
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número...