Algebra lineal

Problema 1 c), d) e), Guía 6.
Sea P3(R) el espacio vectorial de los polinomios de grado 3 o menor con coeficientes reales. Determine si cada uno de los conjuntos siguientes es un subespacio de P3(R) o no, justificando su respuesta
1.c) W={p∈P3R:p0p1=0}SOLUCIÓN:
Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales, entonces W es subespacio de V sise puede escribir como un conjunto generado.
Como estamos en el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3, entonces px=a+bx+cx2+dx3Luego, p0=a+0b+0c+0d=ap1=a+b1+c1+d1=a+b+c+dEntonces p0p1=0 si y solo si:
aa+b+c+d=0↔a=0∨a+b+c+d=0Si a+b+c+d=0→a=-b+c+dPor otro lado, si a=0→b+c+d=0→b=-c-dDespejando a y b en px=a+bx+cx2+dx3px=-b-c-d+-c-dx+cx2+dx3px=c+d-c-d-cx-dx+cx2+dx3px=cx2-x+d(x3-x)Loanterior podemos expresarlo como un conjunto generado: <x2-x , x3-x>Luego, la base para el subespacio vectorial es B={x2-x , x3-x}Como hemos visto en clases, toda base genera el espacio vectorial, y como la base es un conjunto generado de elementos del espacio vectorial, entonces W es un subespacio vectorial de V.
1.d) W={p∈P3R:p0+p1=0}SOLUCIÓN:
Como vimos en la parte c),p0=ap1=a+b+c+dEntonces p0+p1=2a+b+c+d=0 si y solo si b=-2a-c-dReemplazando b en p(x) resulta:
px=a-2a+c+dx+cx2+dx3px=a-2ax-cx-dx+cx2+dx3px=a1-2x+cx2-x+d(x3-x)Nuevamente podemos escribir p(x) como el conjunto generado por:
<1-2x , x2-x , x3-x>Por ende, una base B para este subespacio está dada por B={1-2x , x2-x , x3-x}Entonces, al igual que en c, como toda base genera el espacio vectorial, y como la basees un conjunto generado de elementos del espacio vectorial, podemos concluir que W es un subespacio vectorial de V.
1.e) W={p∈P3R:px+x3∈P2R}SOLUCIÓN:
Otra forma de ver si W es subespacio vectorial de V es si se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
W⊆VW⊆V, p⊆V→W⊆VW≠0 (W es un conjunto no vacío).
px+x3=0 si y solo si 0+0x+0x2+0x3+x3=x3≠0. Por lo tanto, W no es subespacio de V.x∈W, y ∈W→(x+y)∈Wx∈W, α∈R→αx∈WComo no se cumple ii), no es necesario ver si se cumplen las condiciones iii) y iv) para ver si W es subespacio de V.
Problema 2 e) Guía 6
Determine bases para el subespacio vectorial
W=p∈P4R:p es divisible por x2+1SOLUCIÓN:
Como p pertenece a los polinomios de grado menor o igual a 4 con coeficientes reales, tal que p(x) es divisible por x2+1 entonces p(x) estáexpresado por:
px=(x2+1)(ax2+b), con a,b∈R Para determinar una base debemos escribir p(x) como un conjunto generado.
p(x)∈W↔p(x)=(x2+1)(ax2+b), con a,b∈R px=ax4+(a+b)x2+b=ax4+x2+b(x2+1)Entonces W=x4+x2 , x2+1Para que ese conjunto generado sea base, debemos verificar si es linealmente independiente, es decir:
αx4+x2+βx2+1=0+0x+0x2+0x3+0x4Entonces α=0;α+β=0;β=0→α=β=0. Por lo tanto, el conjunto es LI.Entonces una base B del subespacio W está dada por: B={x4+x2 , x2+1}Problema 4 b) Guía 6.
Sea Mnxn el espacio vectorial de las matrices de n x n de coeficientes reales. Demuestre que el conjunto de las matrices antisimétricas de 3x3 es subespacio de M3x3 y encuentre una base y su dimensión.
SOLUCIÓN:
Sea S el conjunto de las matrices antisimétricas de 3x3, entonces:
S={M3x3:MT=-M}Consideremos la matriz M=abcdefghi→MT=adgbehcfiComo el conjunto es de matrices antisimétricas, entonces:
MT=-M→adgbehcfi=-abcdefghiadgbehcfi=-a-b-c-d-e-f-g-h-iDe lo anterior podemos inferir:
a=-a→a=0d=-bg=-ce=-e→e=0h=-fc=-gi=-i→i=0Entonces, la matriz M está dada por:
M=0bc-b0f-c-f0→M=b010-100000+c001000-100+f0000010-10M=010-100000 , 001000-100, 0000010-10Hemos mostrado que M puede escribirse como unconjunto generado de matrices de 3x3 que pertenecen al espacio vectorial M3x3. Por lo tanto, el conjunto de las matrices antisimétricas de 3x3 es subespacio de M3x3.
Por otro lado, vemos que los elementos del subespacio vectorial S son linealmente independientes, ya que cada matriz que posee un 1, las otras 2 poseen 0's en ese mismo elemento. Como es un conjunto LI, entonces una base B del espacio...