Algebra lineal
Páginas: 40 (9876 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2014
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
´
Introducci´
on al Algebra
Lineal
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro deAn´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
´Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Algebra
Lineal del
curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela.
En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica,
Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de losautores.
Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.
iii
CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Matrices y Sistemas lineales.
1
1. Matrices.
1
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
15
3. Determinantes
22
Ejercicios.
Matrices y Sistemas lineales.
30
Cap´ıtulo 2. Transformaciones Lineales.35
1. Transformaci´on lineal
35
2. Bases.
37
Ejercicios.
Transformaciones Lineales.
40
Bibliograf´ıa
43
´Indice
45
v
CAP´ITULO 1
Matrices y Sistemas lineales.
Matrices. Producto de matrices. Inversa de una matriz. Autovectores y autovalores.
Determinantes 2 × 2 y 3 × 3. Diagonalizaci´on de matrices. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1. Matrices.
1.1.Matrices m × n.
Una matriz m × n es un arreglo rectangular de m.n n´
umeros dispuestos en m filas y n
columnas
a11
.
.
A=
.
am1
···
.. .. ..
...
···
a1n
..
.
amn
La igualdad anterior la abreviaremos mediante A = (aij ). Los n´
umeros de este arreglo
se denotan mediante aij donde i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Aclaratoria: una matriz es unafunci´on de {1, . . . , m} × {1, . . . , n} en R, la imagen de
(i,j) se denota mediante aij .
Tenemos:
j
a11
.
..
i ai1
.
..
···
.. .. ..
...
a1j
..
.
···
.. .. ..
...
···
.. .. ..
...
aij
..
.
···
.. .. ..
...
am1
···
amj
···
a1n
..
.
ain
..
.
amn
Dos matrices A y B son iguales si son delmismo tama˜
no y sus componentes correspondientes son iguales. Es decir, A = B cuando
aij = bij
para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
1
2
1. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.
El arreglo
ai1 · · ·
ain
se denomina la fila i o el rengl´
on i.
El arreglo
a1j
.
..
amj
se denomina la columna j.
Casos particulares:
Un vector fila (o vector rengl´on ) es una matriz de la forma
a11 · · ·
a1n
Un vector columna es una matriz de la forma
a11
.
..
am1
Por ejemplo:
Un vector fila 1 × 3 es una matriz 1 × 3:
a11 a12 a13
y un vector columna 3 × 1 es una matriz 3 × 1:
a11
a21
a31
La matriz que tiene todas sus componentes iguales a cero, se denomina matriz nula .
Por ejemplo, la matriz nula 3 × 2es:
0 0
0 0
0 0
1. MATRICES.
y la matriz nula 4 × 4 es:
0 0 0 0
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Una matriz cuadrada es una matriz en la que el n´
umero de filas es igual al n´
umero de
columnas (m = n).
Veamos primero las matrices cuadradas: 1 × 1, 2 × 2 y 3 × 3 respectivamente:
a11
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13...
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
´
Introducci´
on al Algebra
Lineal
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro deAn´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
´Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Algebra
Lineal del
curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela.
En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica,
Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de losautores.
Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.
iii
CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Matrices y Sistemas lineales.
1
1. Matrices.
1
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
15
3. Determinantes
22
Ejercicios.
Matrices y Sistemas lineales.
30
Cap´ıtulo 2. Transformaciones Lineales.35
1. Transformaci´on lineal
35
2. Bases.
37
Ejercicios.
Transformaciones Lineales.
40
Bibliograf´ıa
43
´Indice
45
v
CAP´ITULO 1
Matrices y Sistemas lineales.
Matrices. Producto de matrices. Inversa de una matriz. Autovectores y autovalores.
Determinantes 2 × 2 y 3 × 3. Diagonalizaci´on de matrices. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1. Matrices.
1.1.Matrices m × n.
Una matriz m × n es un arreglo rectangular de m.n n´
umeros dispuestos en m filas y n
columnas
a11
.
.
A=
.
am1
···
.. .. ..
...
···
a1n
..
.
amn
La igualdad anterior la abreviaremos mediante A = (aij ). Los n´
umeros de este arreglo
se denotan mediante aij donde i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Aclaratoria: una matriz es unafunci´on de {1, . . . , m} × {1, . . . , n} en R, la imagen de
(i,j) se denota mediante aij .
Tenemos:
j
a11
.
..
i ai1
.
..
···
.. .. ..
...
a1j
..
.
···
.. .. ..
...
···
.. .. ..
...
aij
..
.
···
.. .. ..
...
am1
···
amj
···
a1n
..
.
ain
..
.
amn
Dos matrices A y B son iguales si son delmismo tama˜
no y sus componentes correspondientes son iguales. Es decir, A = B cuando
aij = bij
para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
1
2
1. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.
El arreglo
ai1 · · ·
ain
se denomina la fila i o el rengl´
on i.
El arreglo
a1j
.
..
amj
se denomina la columna j.
Casos particulares:
Un vector fila (o vector rengl´on ) es una matriz de la forma
a11 · · ·
a1n
Un vector columna es una matriz de la forma
a11
.
..
am1
Por ejemplo:
Un vector fila 1 × 3 es una matriz 1 × 3:
a11 a12 a13
y un vector columna 3 × 1 es una matriz 3 × 1:
a11
a21
a31
La matriz que tiene todas sus componentes iguales a cero, se denomina matriz nula .
Por ejemplo, la matriz nula 3 × 2es:
0 0
0 0
0 0
1. MATRICES.
y la matriz nula 4 × 4 es:
0 0 0 0
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Una matriz cuadrada es una matriz en la que el n´
umero de filas es igual al n´
umero de
columnas (m = n).
Veamos primero las matrices cuadradas: 1 × 1, 2 × 2 y 3 × 3 respectivamente:
a11
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13...
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